A K. 45. feladat (2005. szeptember)

K. 45. Hányféleképpen tehetünk fel a sakktáblára egy királyt és egy bástyát, hogy egyik se üsse a másikat? (A sakktábla mezői a szokásos módon betűkkel és számokkal vannak jelölve; két helyzet különbözőnek számít, ha legalább az egyik bábu másik mezőn áll a két helyzetben.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2005. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy a király elhelyezkedése szerint hányféle helyre kerülhet a bástya.

A) A király a tábla sarkában van (erre négy lehetőség van). Ekkor a bástya nem kerülhet a király sorába és oszlopába, valamint a király helyével átlósan szomszédos egyetlen mezőre (ez összesen 16 mező). A bástya tehát 48 mezőn állhat, így ebben az esetben 4^.48=192 lehetőséget kapunk.

B) A király a tábla szélén áll, de nem a sarokban (a táblán 24 ilyen mező van). Ekkor a bástya nem kerülhet a király sorába és oszlopába, valamint a király helyével átlósan szomszédos két mezőre (ez összesen 17 mező). A bástya tehát 47 mezőn állhat, így ebben az esetben 24^.47=1128 lehetőséget kapunk.

C) A király nem a tábla szélén áll (a táblán 36 ilyen mező van). Ekkor a bástya nem kerülhet a király sorába és oszlopába, valamint a király helyével átlósan szomszédos négy mezőre (ez összesen 19 mező). A bástya tehát 45 mezőn állhat, így ebben az esetben 36^.45=1620 lehetőséget kapunk. A három esetből összesen 192+1128+1620=2940 lehetőség adódik a kívánt elhelyezésekre.

Statisztika:

286 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	163 versenyző.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai