A K. 450. feladat (2015. január)

K. 450. Az \(\displaystyle 1, 14, 27, \ldots\) számtani sorozatban hány jegyű a második olyan szám, amely csupa 2-es számjegyből áll?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a sorozat differenciája 13, ezért ha van olyan tagja, ami csupa 2-esből áll, akkor az annál 1-gyel kisebb szám, ami 22…21 alakú, osztható 13-mal. Keressünk tehát 22…21 alakú, 13-mal osztható számokat. Mivel 21 nem jó, a legkisebb, ami szóba jön, a 221, és ez valóban jó: \(\displaystyle 221=13\cdot17\). Ha találunk egy ennél nagyobb számot, akkor az felírható a következő alakban: \(\displaystyle 22…2000+221=2000\cdot11…1+221\). Mivel 221 osztható 13-mal, 1000 pedig relatív prím vele, így meg kell keresni a legkisebb 11..1 alakú, 13-mal osztható számot. 11 és 111 nem jó, 1111-et és 11111-öt kipróbálva, azok szintén nem jók. A következő szám, \(\displaystyle 111111=13\cdot8547\), tehát 222222221 osztható 13-mal. Vagyis a második csupa 2-esből álló szám a sorozatban 9-jegyű.

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Agócs Katinka, Balbach Dominik, Béda Gergely, Benda Orsolya, Bertalan Nikoletta, Cselovszki Tamás, Csuha Boglárka, Dévény Csaba, Dömötör Emőke, Encz Koppány, Farkas Ádám, Farkas Lilla, Fekete Balázs Attila, Filip Krisztina, Földi Anna, Gyűrűs Boldizsár, Harsányi Benedek, Hegedűs 330 Marcell, Hohner Kata, János Zsuzsa Anna, Kaposi Zsófia Fanni, Koronczi Fanni, Korpás Isabel, Kovács 124 Marcell, Kozma Dávid Márk, Kubovics Márton, Lakatos Ágnes, Maksa Gergő, Márton Anna, Mészáros Melinda, Mihályházi Péter, Nagy Marcell, Németh 962 Ambrus, Németh Csilla Márta, Orova Katinka, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Pintér 345 Balázs, Rátkai Petra, Rittgasszer Ákos, Sántha 001 Balázs, Sipos Fanni Emma, Szarka Álmos, Sziráki Boglárka Tünde, Szűcs 865 Eszter, Thuróczy Mylan, Tóth 802 Máté, Varga 274 Tamás.
5 pontot kapott:	8 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai