 |
A K. 465. feladat (2015. szeptember) |
K. 465. Egy kincsesláda elektronikus zárszerkezetét nyolc darab kis kapcsoló vezérli. Minden kapcsoló kétféle állásban lehet, felfelé vagy lefelé kapcsolva. A zár akkor nyílik ki, ha minden kapcsoló felfelé áll. Bármelyik kapcsolót átkapcsolhatjuk egyik állásából a másikba. Egy automatika azonban érzékeli, hogy melyik kapcsoló állásán változtattunk, és azonnal három másik kapcsolót is átkapcsol az aktuális állásából az ellenkező állásba. (Az automatika által átkapcsolt kapcsolók továbbiakat már nem fordítanak át.) Az alábbi táblázatban találhatjuk, hogy melyik kapcsoló állásának megváltoztatásakor melyik három kapcsoló állása változik meg (az egyszerűség kedvéért megszámoztuk a kapcsolókat).
|
\(\displaystyle a)\) Kezdetben minden kapcsoló lefelé áll, kivéve a 6-ost és a 7-est. Ebből a helyzetből indulva két kapcsoló átkapcsolásával ki tudjuk nyitni a ládát. Melyik két kapcsolót kell használnunk?
\(\displaystyle b)\) Kezdetben minden kapcsoló lefelé áll, kivéve a 7-est. Ebből az állásból indulva kinyitható-e a láda a kapcsolók segítségével?
(6 pont)
A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Vizsgáljuk meg, hogy a kiinduló helyzetből milyen kapcsolóállások érhetők el! Foglaljuk táblázatba a lehetséges állásokat!
A táblázat soraiban azt tüntettük fel, hogy a kiinduló helyzetből az egyes kapcsolók átkapcsolásával milyen helyzet érhető el. Az átkapcsolt kapcsoló sorszámát az első oszlop tartalmazza:
|
Csak azokat a kapcsolóállásokat kell figyelembe vennünk, amelyekben pontosan négy kapcsoló áll lefelé (ezeket vastagítva jelöltük), és ellenőriznünk kell, hogy ezek a négy kapcsoló valamelyikének átkapcsolásával felfelé állásba hozhatók-e.
A 4-es sorban az 5-ös átkapcsolásával a 2, 3, 5 és 6 kapcsolók felfelé fognak állni. Az 5-ös sorban a 4-es átkapcsolásával az 1, 4, 6 és 8 kapcsolók felfelé fognak állni. A többi sorban nincs ilyen lehetőségünk.
Tehát a 4-es és 5-ös kapcsoló átkapcsolásával (ezek tetszőleges sorrendje mellett) érhető el, hogy a láda nyitva legyen.
b) Ha megfigyeljük, könnyen észrevehetjük, hogy egy kapcsoló átkapcsolásával, mivel egyszerre négy kapcsoló állása változik, a felfelé álló kapcsolók számának paritása nem változik, tehát ha páros volt, akkor páros marad, ha páratlan volt, akkor páratlan marad. Így viszont az egy felfelé álló kapcsoló helyzetéből nem érhető el a 8 felfelé álló kapcsoló helyzete, tehát a láda ekkor nem nyitható ki a kapcsolók segítségével.
Statisztika:
A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai