 |
A K. 466. feladat (2015. szeptember) |
K. 466. Hány olyan egész szám van 1-től 2015-ig, melynek 10-es számrendszerbeli alakjában van 5-ös, de nincs 7-es számjegy?
(6 pont)
A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyjegyű számok között egy ilyen van. A kétjegyű számok között lehet a5, 5b, vagy 55 alakú szám, ahol a \(\displaystyle {\neq}\) 0, 5, 7; b \(\displaystyle {\neq}\) 5, 7. Megfelelő a érték 7 db van, megfelelő b érték 8 db van, így összesen 16 megfelelő kétjegyű számot találunk. A háromjegyű számok között az alábbi típusokat különböztethetjük meg: 555, 55b, 5b5, a55, 5bc, a5b, ab5, ahol a \(\displaystyle {\neq}\) 0, 5, 7; b, c \(\displaystyle {\neq}\) 5, 7. Továbbra is érvényes, hogy a 7-féle, b és c pedig 8-féle lehet, így az egyes típusokból rendre 1, 8, 8, 7, 8\(\displaystyle {\cdot}\)8, 7\(\displaystyle {\cdot}\)8 és 7\(\displaystyle {\cdot}\)8 db van, azaz összesen 200 db van. Az 1-gyel kezdődő négyjegyű számok között minden olyan szám megfelelő, melyet úgy kapunk, hogy egy megfelelő háromjegyű szám elé írunk egy 1-est, vagy egy megfelelő kétjegyű szám elé írunk 10-t, vagy egy megfelelő egyjegyű szám elé írunk 100-t. Tehát 1000-től 1999-ig a megfelelő számok darabszáma 200+16+1 = 217, ez eddig összesen 434 db számot jelent. Ehhez hozzájön még a 2005 és a 2015, tehát összesen 436 olyan számot találunk 1-től 2015-ig, melyben van 5-ös számjegy, de nincs 7-es.
Statisztika:
149 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bachmann Laura Adrienne, Bartha Ákos, Bertók Zsanett, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Erdei Márk, Farkas Norbert, Földvári Ádám, Gazsi Ádám, Gungl Brigitta, Háder Márk István, Hoffman Gréta, Hoffmann Balázs, Horváth 713 Alíz, Huszár Mária, Kiss 468 Péter, Kluèka Vivien, Koleszár Panna, Koltai Dániel, Kovács 161 Márton Soma, Kovács 576 Kristóf, Magyar Gergely, Marshall Tamás, Mészáros 916 Márton, Miskolczi Abigél, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Jakab Zoltán, Póta Balázs, Radnai Viktor, Sal Dávid, Szakács 125 Benedek, Szűcs Leó, Varga 294 Ákos, Verebélyi Réka, Zsótér Laura. 5 pontot kapott: 24 versenyző. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 26 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző.
A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai