A K. 470. feladat (2015. október)

K. 470. Kétféle méretű kockánk van, mindkettő élhossza egész cm. A piros kockák éle 5 cm-rel nagyobb, mint a kékeké. A kockákból összesen 15 db-ot egymásra tettünk, így egy 140 cm magas tornyot kaptunk. Mekkora a kockák éle, ha a piros és a kék kockák száma közötti eltérés a lehető legkisebb?

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a kék kocka éle \(\displaystyle x\) cm, a piros kockák száma \(\displaystyle p\), a kék kockák száma pedig \(\displaystyle k\). Mivel \(\displaystyle p + k = 15\), azért \(\displaystyle k=15-p\), és így felírhatjuk, hogy \(\displaystyle (15-p)x + p(x+5) = 140\). Ebből \(\displaystyle 15x + 5p = 140\), egyszerűsítve \(\displaystyle 3x + p = 28\). Mivel \(\displaystyle x\) pozitív egész szám, így a szóba jövő \(\displaystyle x\) értékek: 1, 2, 3, …, 9. Ebből \(\displaystyle p\) lehetséges értékei: 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1. Most használjuk ki azt, hogy \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle k\) a lehető legkevésbé tér el egymástól és összegük 15, azaz \(\displaystyle p = 7\) és \(\displaystyle k = 8\). Így \(\displaystyle 3x + 7 = 28\), ahonnan \(\displaystyle x = 7\). A kék kocka éle tehát 7 cm, a pirosé ennél 5-tel több,vagyis 12 cm.

Statisztika:

169 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	118 versenyző.
5 pontot kapott:	30 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai