 |
A K. 493. feladat (2016. február) |
K. 493. Rá lehet-e írni egy kocka csúcsaira az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 és 8 számokat úgy, hogy minden lapon prímszám legyen a lap csúcsaiban álló számok összege?
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Nevezzük egy lap csúcsaiban szereplő számok összegét lapösszegnek. A csúcsokra írandó számok összege: \(\displaystyle 1+2+...+8=\frac{(1+8)\cdot8}{2}=36\). Minden csúcs három lapon szerepel, így a hat lap lapösszege együttvéve \(\displaystyle 3\cdot36=108\).
Mivel \(\displaystyle 1+2+3+4=10\) és \(\displaystyle 5+6+7+8=36-10=26\), így a szóba jövő prímszámok a 11, 13, 17, 19 és a 23. Így van, amelyik többször szerepel lapösszegként. A 11 csak egyféleképp írható fel: \(\displaystyle 11=1+2+3+5\). A 13 többféleképp, pl. \(\displaystyle 13=1+2+4+6=1+3+4+5\). Ha mindkettő szerepel, akkor az 1 és a 4 egy élen van. Kezdjük el a számozást:
A kimaradó két szám a 7 és a 8, ezek helye a paritás miatt egyértelmű (egy lapon vagy egy, vagy három páros szám kell, hogy álljon):
A kapott elrendezésben a 13 és a 23 is háromszor szerepel lapösszegként.
Megjegyzés. Van más elrendezés is, például ez:
Itt a lapösszegek: 13, 17, 17, 19, 19, 23.
Statisztika:
A KöMaL 2016. februári matematika feladatai