A K. 499. feladat (2016. március)

K. 499. A macskák kergetik az egereket. Öt egér elbújik egy falrepedésben, így minden menekülő egérre két macska jut. Tíz macska azonban elunja a kergetőzést, így már három menekülő egérre jut egy üldöző macska. Hány egér és hány macska kezdte a kergetőzést?

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az 5 egér elbújása után a macskák és egerek e-m-m hármasokba állíthatók (mert minden egérre két macska jut). Ha 3 ilyen hármasból elmegy 5 macska, akkor lesz közöttük háromszor annyi egér, mint macska. Mivel tíz macska ment el, ezért két ilyen \(\displaystyle 3\times3\)-as csapat volt, ebben 6 egér és 12 macska volt összesen. Az elsőként elbújt 5 egérrel együtt 11 egér volt eredetileg, és 12 macska.

2. megoldás. Az 5 egér elbújása után legyen \(\displaystyle x\) db egér és \(\displaystyle 2x\) db macska. Ha 10 macska abbahagyja, akkor \(\displaystyle x\) egér és \(\displaystyle 2x–10\) macska marad. A megadott összefüggés alapján \(\displaystyle x = 3 \cdot (2x–10)\). Ezt megoldva \(\displaystyle x = 6\). Tehát 11 egér és 12 macska kezdte a kergetőzést.

Statisztika:

130 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	110 versenyző.
5 pontot kapott:	7 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai