A K. 503. feladat (2016. március)

K. 503. Egy tréfás kedvű matematikatanár április 1-jén a leírt számokat és műveleteket mindig abban a számrendszerben értelmezi, amelynek alapja az éppen aktuális időpont egész órája. (Tehát pl. 13 óra 32 perckor a 13-as számrendszerben.) Ezen a napon elvégzett egy szorzást, eredményként 181-et kapott. Egy óra múlva ugyanazon számjegyekkel leírva elvégezte ugyanazt a szorzást, eredményként 180-t írt le. A második szorzás után két órával összeadta az 180-t és az 181-et, összegként 341-et jegyzett le. Mi volt az eredeti számjegyekkel leírt szorzása?

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle 181 + 180 = 341\) az \(\displaystyle a\) alapú számrendszerben, tehát \(\displaystyle a^2+8a+1+a^2+8a+0=3a^2+4a+1\), ebből \(\displaystyle 12a=a^2\), vagyis (mivel \(\displaystyle a\) pozitív) \(\displaystyle a = 12\). Tehát az első szorzást a \(\displaystyle 9\)-es, a második szorzást a \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben végezte el. \(\displaystyle 181\) a \(\displaystyle 9\)-es számrendszerből tízesbe átváltva \(\displaystyle 81+72+1=154\). A \(\displaystyle 154\) tízes számrendszerbeli szorzatalakja \(\displaystyle 2\cdot7\cdot11\), tehát tízes számrendszerben két szám szorzataként \(\displaystyle 1\cdot154\), \(\displaystyle 2\cdot77\), \(\displaystyle 7\cdot22\), \(\displaystyle 11\cdot14\) alakban írhatjuk fel. Ezeket a \(\displaystyle 9\)-es számrendszerbe visszaváltva az \(\displaystyle 1\cdot181\), \(\displaystyle 2\cdot85\), \(\displaystyle 7\cdot24\), \(\displaystyle 12\cdot15\) \(\displaystyle 9\)-es számrendszerbeli szorzatokat kapjuk, ezek között volt az elsőként elvégzett szorzás. Ha ezeket tízes számrendszerbeli szorzatokként tekintjük, akkor csak a \(\displaystyle 12\cdot15\) eredménye lesz \(\displaystyle 180\), így az eredeti szorzás a \(\displaystyle 12\cdot15\) volt.

Statisztika:

55 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Barta Ákos, Bertók Zsanett, Bognár Ádám, Csáfordi József, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Fekete Barnabás, Gilicze Márton, Hoffmann Balázs, Jankovits András, Keltai Dóra, Kluèka Vivien, Köpenczei Csenge, Máté 446 Dávid, Mészáros 916 Márton, Nyitrai Boglárka, Pinke Jakab Zoltán, Rubovszky Cecília , Ruzsa Kata, Sal Dávid, Simon Dóra, Varga 294 Ákos, Vida Kata.
5 pontot kapott:	Csóka Zoárd, Debreczeni Tibor, Földvári Ádám, Gárdonyi Csilla Dóra, Gortka Bence, Kertész Ferenc, Kiss 468 Péter, Koltai Dániel, Kovács 161 Márton Soma, Marshall Tamás, Mester Gyöngyvér, Mónos Péter, Nagy Csaba Jenő, Pálvölgyi Szilveszter, Póta Balázs, Vitányi Borbála.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai