A K. 528. feladat (2016. december)

K. 528. Egy szabályos hétszög csúcsaihoz odaírtuk a számokat 1-től 14-ig úgy, hogy minden oldalán (azaz az oldalon levő két csúcsot tekintve) a számok összege egyforma.

\(\displaystyle a)\) Mennyi ez az összeg? Mutassunk egy jó megvalósítást.

\(\displaystyle b)\) Lehet-e olyan csúcs, amihez nem írtunk számot?

\(\displaystyle c)\) Mi lehet az egyes csúcsoknál az odaírt számok összege?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) A számok összege 1-től 14-ig 105, de minden számot két oldalhoz is hozzászámolunk, így összesen 210, aminek a hetede 30. Tehát minden oldal mentén 30 az összeg. Egy jó megvalósítás: (1,14), (2,13), (3,12), (4,11), (5,10), (6,9), (7,8).

b) Tegyük fel, hogy az első csúcshoz nem írunk számokat. Mivel az egy oldalon lévő számok összege 30 (lásd az a) rész megoldását), így a csúcsoknál lévő összegek: 0, mert ide nem írtunk számokat; aztán 30, hogy az oldal mentén az összeg kijöjjön; majd ugyanezért a következő csúcsnál megint 0, majd 30, 0, 30, végül 0. Azonban ennek az utolsó csúcsnak az oldalszomszédja az első csúcs, ahová szintén nem írtunk számokat, így ellentmondásra jutottunk.

c) Az egy oldalon lévő számok összege 30 (lásd az a) rész megoldását), így a csúcsoknál lévő összegek: a, 30-a, a, 30-a, a, 30-a, a. Az első és az utolsó csúcsot összekötő oldal mentén így az összeg 2a = 30, azaz a = 15. Tehát az összeg mindenhol 15 kell hogy legyen.

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Benczik Ákos , Bérczi Péter, Bohus Ádám, Bottlik Domonkos, Csikós Patrik, Espán Márton, Falvay Júlia, Fekete Gergő 0706, Gém Viktória, Hegedűs Eszter, Ill Ninetta, Juhász 315 Dorka, Kincses Benedek, Kis 194 Károly, Kozák 023 Áron, Kulisity Mátyás, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Nagy 345 Bálint, Német Franciska, Rittberger András, Rozgonyi Gergely, Rusvai Miklós, Sándor 111 Réka, Székelyhidi Klára, Szente Péter, Szilágyi Anna Sára, Szirtes Botond, Tornyi Napsugár, Varga 007 Eszter, Vincze Lilla.
5 pontot kapott:	Cseh Dániel, Dombai Zétény, Hevesi Csongor, Korondi 010 Márton, Kovács Fruzsina Dóra, Op Den Kelder Júlia, Papós Zita, Pásti Bence, Szabó 808 Álmos Levente, Szemerédi Előd.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai