A K. 530. feladat (2017. január)

K. 530. Anton és Bláziusz az apjuktól örököltek egy földterületet, melyet felosztottak egymás között apjuk végakaratának megfelelően. Mindkét fiú csak búzát és kukoricát termelt. A földterület talaja jobban kedvez a kukoricának, ezért egy adott területre búzát ültetve csak harmadannyi lesz a termés, mint kukorica ültetése esetén. Antonnak másfélszer annyi búzája termett, mint kukoricája, Bláziusznak pedig ötször annyi kukoricája termett, mint búzája. A teljes földterületen a búza- és kukoricatermés aránya \(\displaystyle 11:27\). Milyen arányban örökölték a földterületet a fiúk?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az egész földterület 100 egységnyi. Ha \(\displaystyle x\) egységen termett búza, és így \(\displaystyle 100–x\) egységen kukorica, akkor a teljes területre megadott termésarányokból a \(\displaystyle \frac{3\cdot(100-x)}{x}=\frac{27}{11}\) egyenlet írható fel. Ezt rendezve \(\displaystyle 3300-33x=27x\) adódik, amit megoldva \(\displaystyle x = 55\). Tehát a teljes területen 55 egységen termett búza, és 45 egységen kukorica. Ha Antonnak másfélszer annyi búzája termett, mint kukoricája, akkor négy és félszer akkora területen termelt búzát, mint kukoricát. Tegyük fel, hogy Anton \(\displaystyle y\) egységen termelt kukoricát és \(\displaystyle 4,5y\) egységen termelt búzát. Ekkor Bláziusz \(\displaystyle 55–4,5y\) egységen termelt búzát, és \(\displaystyle 45-y\) egységen kukoricát, így felírhatjuk Bláziusz termésarányára, hogy \(\displaystyle \frac{3\cdot(45-y)}{55-4,5y}=5\). Rendezve az egyenletet \(\displaystyle 135-3y=275-22,5y\) adódik, amit megoldva az \(\displaystyle y = \frac{280}{39}\) eredményt kapjuk. Tehát Anton \(\displaystyle \frac{1260}{39}\) egységen termelt búzát és \(\displaystyle \frac{280}{39}\) egységen kukoricát, azaz a 100 egységnyi földterületből \(\displaystyle \frac{1540}{39}\) az övé, \(\displaystyle \frac{2360}{39}\) pedig Bláziuszé. Az örökölt fölterületek aránya 1540: 2360=77 : 118.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Acs Imre, Balogh Bence, Benczik Ákos , Bérczi Péter, Cseh Dániel, Csikós Patrik, Espán Márton, Hegedűs Eszter, Juhász 315 Dorka, Kis 194 Károly, Kovács Fruzsina Dóra, Markó Gábor, Molnár Apollónia Kármen, Papós Zita, Paróczai Anett, Pásti Bence, Sándor 111 Réka, Szajkó Bence Gergő, Székelyhidi Klára, Vincze Lilla.
5 pontot kapott:	Kiss 014 Dávid.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai