A K. 531. feladat (2017. január)

K. 531. Egy \(\displaystyle 4\times 4\)-es táblázatot sakktáblaszerűen kiszínezünk. Egy lépésben egy kiszemelt \(\displaystyle 2\times 2\)-es részen minden mező színét megváltoztatjuk (feketéből fehér, fehérből fekete lesz).

\(\displaystyle a)\) Néhány ilyen színcserével elérhető-e, hogy az egész tábla fekete színű legyen?

\(\displaystyle b)\) Elérhető-e ilyen színcserékkel ugyanez az \(\displaystyle 5\times 5\)-ös tábla esetén, ha a sarkok fehérek?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Igen, elérhető. Például a felső középső \(\displaystyle 2\times2\)-es és az alsó középső \(\displaystyle 2\times2\)-es változtatása után, majd egy-egy átellenes sarokban lévő \(\displaystyle 2\times2\)-es változtatása után már csak a középső sávot kell megváltoztatni.

b) Egy-egy ilyen átszínezéskor a különböző színű mezők számának különbsége 4-gyel változik, vagy nem változik. (0-4-ből 4-0, 1-3-ból 3-1, 2-2-ből 2-2 lesz.) Kezdetben a fehér és a fekete mezők számának különbsége 1, az elérendő végállapotban pedig \(\displaystyle –25\). Az 1 és a \(\displaystyle –25\) különbsége 26, ami 4-gyel nem osztható, így nem lehetséges a kívánt átszínezés.

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bérczi Péter, Bohus Ádám, Cseh Dániel, Csikós Patrik, Espán Márton, Falvay Júlia, Görgei Botond Péter, Györfi Bence, Gyuricza Gergő, Hegedűs Eszter, Juhász 315 Dorka, Kereszes Kornél 537, Kincses Benedek, Kis 194 Károly, Kocsor Dániel, Kovács Fruzsina Dóra, Kozák 023 Áron, Kozák 023 Balázs, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Mendei Barna, Német Franciska, Paróczai Anett, Rosztoczy Csaba, Szajkó Bence Gergő, Szemerédi Előd, Tornyi Napsugár, Veres Kristóf, Vincze Lilla.
5 pontot kapott:	32 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai