A K. 538. feladat (2017. február)

K. 538. A 2592 számot ,,nyomtatóbiztos'' számnak nevezzük, mert a \(\displaystyle 2^5\, 9^{2}\) szorzatot rosszul, 2592-nek nyomtatva nem okozunk hibát, hiszen a szorzat eredménye is ennyi. Keressük meg, hogy a 13942125 szám miért nyomtatóbiztos, azaz mely számjegyeket lehetne benne kitevőnek értelmezni, hogy az eredmény a szám maradjon?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, mely számjegyek biztosan nem lehetnek kitevőben. A szám prímtényezős felbontása: \(\displaystyle 13942125 = 3^8\cdot 5^3\cdot 17\), így egyik kitevő sem lehet 8-nál nagyobb, csak ha az 1 kitevője. Ezek alapján nem lehet kitevőben a 9. Mivel a szám páratlan, így egyik páros szám sem lehet egy szorzótényező utolsó számjegye, így nem lehet kitevő a baloldali 2-es, a jobboldali 1-es, sem a számvégi 5-ös. Ha a jobboldali 2-es kitevő lenne, akkor csak egy 5-ös szorzótényező lenne az egész számban, de a prímfelbontásból tudjuk, hogy három is van. Tehát az utolsó négy számjegy, a 2125 biztosan nem szerepel kitevőben, azaz szorzótényező. Nézzük meg a prímtényezős felbontását: \(\displaystyle 2125 = 5^3\cdot 17\), ami azt jelenti, hogy már csak a \(\displaystyle 3^8\) lehet szorzótényező a számban, ami viszont pont \(\displaystyle 9^4\), így a 3-as is kitevő, és megkaptuk a teljes szorzatot: \(\displaystyle 1^3\cdot 9^4\cdot 2125 = 13942125\).

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	58 versenyző.
5 pontot kapott:	2 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. februári matematika feladatai