 |
A K. 542. feladat (2017. március) |
K. 542. Egy boltban 1100 Ft-ért lehet megvenni egy ajándéktárgyat. Egy egzotikus országból érkezett turista úgy szeretné megvenni, hogy a saját országának pénzével fizet érte. A turista országában háromféle pénz van forgalomban: kerek, négyszög, illetve háromszög alakú. 11 db kerek 1500 Ft-ot, 11 db négyszög alakú 1600 Ft-ot, 11 db háromszög alakú 1700 Ft-ot ér. Melyik pénzből hány darabot kell adnia, hogy pontosan ki tudja fizetni az 1100 Ft-ot? Adjuk meg az összes lehetőséget.
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Álljon a turista által fizetendő összeg \(\displaystyle x\) db kerek, \(\displaystyle y\) db négyszögletes és \(\displaystyle z\) db háromszög alakú pénzből. Ekkor a megadott összefüggések alapján a következő egyenlet írható fel: \(\displaystyle 1100=\frac{1500x}{11}+\frac{1600y}{11}+\frac{1700z}{11}\), rendezve \(\displaystyle 121 = 15x + 16y + 17z\), átalakítva \(\displaystyle 121 = 15(x+y+z) + y + 2z\). Ennek alapján \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) egyike sem lehet 8-nál több, és \(\displaystyle x+y+z\) értéke is 9-nél kisebb. Ha \(\displaystyle x+y+z\) 6 vagy kevesebb lenne, akkor \(\displaystyle y+2z\) értéke legalább 31 lenne. Mivel \(\displaystyle y+z\) értéke legfeljebb 6, ezért ekkor \(\displaystyle z\) értéke legalább 25, ami ellentmondás. Tehát \(\displaystyle x+y+z\) értéke 7 vagy 8. Ha ez az érték 8, akkor \(\displaystyle y + 2z = 1\), ami csak \(\displaystyle y = 1\) és \(\displaystyle z = 0\) esetén valósulhat meg, ekkor \(\displaystyle x = 7\). Ha \(\displaystyle x+y+z\) értéke 7, akkor \(\displaystyle y+2z=16\), de \(\displaystyle y+z\) legfeljebb 7, így \(\displaystyle z\)-nek legalább 9-nek kéne lennie, ami ellentmondás. Tehát csak egy lehetősége van a turistának: 7 db kerek és 1 db négyszögletes pénzzel fizet.
Statisztika:
52 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Acs Imre, Balogh Bence, Bödő Lajos, Espán Márton, Gyuricza Gergő, Kis 194 Károly, Kocsor Dániel, Kreisz Bálint, Markó Gábor, Merkl Levente, Rátki Luca, Sándor 111 Réka, Szemerédi Előd, Szente Péter, Szirtes Botond, Tornyi Napsugár, Vincze Lilla. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 18 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző.
A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai