A K. 543. feladat (2017. március)

K. 543. Egy raktárban 27 db kocka alakú dobozt egy nagyobb kocka alakba rendeztek el. Mindegyik dobozban egy nagyméretű sajt lapul. A raktárban egy egér bemászik az egyik földön levő dobozba, megeszi az ott levő sajtot, majd átmászik egy, ezzel közös oldallappal rendelkező nem üres dobozba, ott is megeszi a sajtot, és ezt így folytatja. Tud-e úgy tevékenykedni az egér, hogy a nagy kocka

\(\displaystyle a)\) egyik lapjának közepén levő dobozban levő sajtot

\(\displaystyle b)\) belsejében levő dobozban található sajtot

egye meg utoljára?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Sakktáblaszerűen színezzük a dobozokat, a nagy kocka csúcsaiban levőket feketére. Ekkor a kocka közepén levő doboz fehér színű, a feketék száma 14, a fehérek száma 13. Az egér minden lépésben más színű dobozba megy át, mint amilyenben volt. Mivel 1-gyel több fekete doboz van, mint fehér, ezért fekete dobozban kell kezdenie, és ilyenben is kell végeznie.

b) Tehát nem tudja úgy enni a sajtokat dobozról-dobozra, hogy a nagy kocka közepén levőben fejezze be, mert az fehér színű.

a) A nagy kocka lapközepén azonban tud végezni. Például ha elindul az egyik lenti sarokból és csigavonalban végigmegy az alsó szint összes dobozán, ekkor a szinten a középső doboz lesz az utolsó. Ezután a középső doboz felső szomszédjából kiindulva a második szint dobozain szintén csigavonalban halad végig, csak most „bentről kifelé”, és az egyik sarokban végez. Ezután ennek a saroknak a felső szomszédjából kiindulva a felső szinten is csigavonalban halad végig, így a felső szint középső lapján fejezi be a sajtevést.

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Acs Imre, Fenyvesi Tamás, Gém Viktória, Gyuricza Gergő, Ill Ninetta, Jakab Levente, Juhász 315 Dorka, Kincses Benedek, Kis 194 Károly, Kocsor Dániel, Kozák 023 Áron, Markó Gábor, Op Den Kelder Júlia, Paróczai Anett, Rittberger András, Sepsi Csombor Márton, Szabados Balázs, Szabó 808 Álmos Levente, Székelyhidi Klára, Szente Péter, Szirtes Botond, Varga 007 Eszter, Vincze Lilla.
5 pontot kapott:	Bottlik Domonkos, Bödő Lajos, Csikós Patrik, Falvay Júlia, Lakatos Zselyke, Mendei Barna, Molnár Apollónia Kármen, Purgel Dóra, Rátki Luca, Rusvai Miklós, Szemerédi Előd, Vass Erik Márk.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai