A K. 548. feladat (2017. szeptember)

K. 548. Van négy, 1-től 4-ig sorszámozott dobozunk, és négy cédulánk, melyeken sorban az 1, 2, 3, 4 számok láthatók. A négy doboz mindegyikébe egy-egy cédulát helyezünk a következő szabálynak megfelelően: minden cédula azt mutatja meg, hogy az őt tartalmazó doboz sorszámának megfelelő cédula melyik dobozban található. Hányféleképpen helyezhetjük el a dobozokban a cédulákat ennek a feltételnek megfelelően?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy dobozban a saját sorszámának megfelelő cédula van, akkor az teljesíti a feltételt. Ha nem így van, akkor egy példán keresztül könnyen látható a cédulák szükséges elrendezése. Tegyük fel, hogy az 1-es dobozban van a 2-es cédula. Ebben az esetben a 2-es dobozban van az 1-es cédula a feltétel szerint. Így a dobozok páronként tartalmazzák az egymás sorszámának megfelelő cédulákat. Ebből adódóan a következő lehetőségeket kapjuk:

1. Minden dobozban a saját sorszámának megfelelő cédula van. Ez összesen 1 megfelelő elrendezést ad.

2. Két doboz egymás céduláját tartalmazza, a maradék kettő a sajátját. Ez összesen \(\displaystyle \binom42=6\) lehetőséget jelent (a két dobozt hatféleképpen tudjuk kiválasztani a 4 doboz közül).

3. Két-két doboz egymás céduláját tartalmazza. Ez 3 lehetőséget jelent (az 1-es doboz párját kell kiválasztanunk, a maradék kettő pedig egymás párja lesz).

Tehát összesen 1+6+3=10 megfelelő elrendezés van.

Statisztika:

169 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	72 versenyző.
5 pontot kapott:	9 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai