A K. 558. feladat (2017. október)

K. 558. Mely \(\displaystyle n\) pozitív egész számok esetén lesz \(\displaystyle n^{4}+n^{2}+1\) prímszám?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Első megoldás. Próbáljuk ki az első néhány egész számot!

Sejtés: \(\displaystyle n^4+n^2+1=(n\cdot(n-1)+1)\cdot(n\cdot (n+1)+1)\) minden \(\displaystyle n\)-re.

Bizonyítás: \(\displaystyle (n\cdot(n-1)+1)\cdot(n\cdot (n+1)+1)=(n^2-n+1)(n^2+n+1)=n^4+n^3+n^2-n^3-n^2-n+n^2+n+1=n^4+n^2+1\).

Prímszámot csak abban az esetben kaphatunk, ha az egyik (a kisebb) tényező \(\displaystyle 1\).

Az \(\displaystyle n^2-n+1=1\) egyenletből \(\displaystyle n^2=n\), ami \(\displaystyle n = 0\), illetve \(\displaystyle n = 1\) esetén teljesül.

Így \(\displaystyle n = 1\) az egyetlen pozitív megoldás. (\(\displaystyle 1 + 1 + 1 = 3\), ami prímszám.)

Második megoldás. \(\displaystyle n^4+n^2+1=n^4+2n^2+1-n^2=(n^2+1)^2-n^2=(n^2+1+n)(n^2+1-n)\).

Prímszámot csak abban az esetben kaphatunk, ha az egyik (a kisebb) tényező \(\displaystyle 1\).

Az \(\displaystyle n^2-n+1=1\) egyenletből \(\displaystyle n^2=n\), ami \(\displaystyle n = 0\), illetve \(\displaystyle n = 1\) esetén teljesül.

Így \(\displaystyle n = 1\) az egyetlen pozitív megoldás. (\(\displaystyle 1 + 1 + 1 = 3\), ami prímszám.)

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	67 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai