A K. 566. feladat (2017. december)

K. 566. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög oldalai \(\displaystyle AB = 8\) cm, \(\displaystyle BC= 7\) cm, \(\displaystyle CD = 6\) cm és \(\displaystyle DA = 5\) cm hosszúak. Az \(\displaystyle BCD\) és \(\displaystyle ABD\) háromszögek beírható köre a \(\displaystyle BD\) átlót rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Milyen hosszú az \(\displaystyle EF\) szakasz?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő.

Az \(\displaystyle ABD\) háromszögben \(\displaystyle AG = AJ\), \(\displaystyle GB = BF = 8 – AG\), valamint \(\displaystyle JD = DF = 5-AJ=5 – AG\), így \(\displaystyle DB = (5– AG) + (8 – AG) = 13 – 2AG\).

A \(\displaystyle BCD\) háromszögben hasonlóan \(\displaystyle DB = (7– CH) + (6 – CH) = 13 – 2CH\), így \(\displaystyle AG = CH\).

\(\displaystyle FE = DB – DF – BE = 13 – 2AG – (5 – AG) – (7 – CH) = 1\).

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	62 versenyző.
5 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai