A K. 568. feladat (2017. december)

K. 568. \(\displaystyle a)\) Adjunk meg négy olyan 50-nél kisebb különböző prímszámot, melyek közül bármely három összege prímszám.

\(\displaystyle b)\) Megadható-e öt különböző pozitív prímszám úgy, hogy közülük bármely három összege prímszám legyen?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Például: \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 19\), \(\displaystyle 31\) (\(\displaystyle 11 + 17 + 19 = 47\), \(\displaystyle 11 + 17 + 31 = 59\), \(\displaystyle 11 + 19 + 31 = 61\), \(\displaystyle 17 + 19 + 31 = 67\)).

b) Ha az öt prímszám között nem szerepel a három, akkor mindegyik prímszám hárommal osztva \(\displaystyle 1\)-et vagy \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul. Öt ilyen szám között mindig van három azonos típusú, tehát három olyan, amelyik azonos maradékot ad \(\displaystyle 3\)-mal osztva, így összegük osztható \(\displaystyle 3\)-mal. Mivel három prímszám összege mindenképpen nagyobb \(\displaystyle 3\)-nál, ezért ez az összeg nem lehet prímszám.

Ha az öt prímszám között szerepel a \(\displaystyle 3\), és köztük nincs három darab \(\displaystyle 3\)-mal osztva azonos maradékot adó szám, akkor biztosan van olyan, amelyik \(\displaystyle 1\)-et, és van olyan, amelyik \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul \(\displaystyle 3\)-mal osztva. Ebben az esetben ez a két szám és a \(\displaystyle 3\) összeadva \(\displaystyle 3\)-mal osztható, de \(\displaystyle 3\)-nál nagyobb számot eredményez, tehát ez sem lehet prím.

Vagyis nem adható meg öt ilyen prím.

Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	51 versenyző.
5 pontot kapott:	3 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai