A K. 581. feladat (2018. február)

K. 581. Adjuk meg az összes ABBA alakú négyjegyű négyzetszámot.

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle ABBA = 1001A+110B=11\cdot(91A+10B)\). Ez csak akkor lehet négyzetszám, ha \(\displaystyle 91A+10B\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, vagyis \(\displaystyle 91A+10B=88A+11B+(3A-B)\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel. Ez pedig csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle 3A-B\) (ami negatív szám is lehet) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel. Mivel \(\displaystyle ABBA\) négyzetszám, ezért \(\displaystyle A\) lehetséges értékei \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\), azaz a megfelelő párok: \(\displaystyle 1-3\), \(\displaystyle 4-1\), \(\displaystyle 5-4\), \(\displaystyle 6-7\), \(\displaystyle 9-5\). Tehát \(\displaystyle 1331\), \(\displaystyle 4114\), \(\displaystyle 5445\), \(\displaystyle 6776\) és \(\displaystyle 9559\) a szóba jöhető számok. Ezek egyike sem négyzetszám.

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	61 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai