A K. 582. feladat (2018. február)

K. 582. Milyen hosszú lehet az a szó, amelynek betűi pontosan 180-féleképpen rendezhetők sorba? Keressünk ilyen értelmes magyar szót.

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy adott hosszúságú szónak az egyforma betűk számától függően lehet kiszámolni, hogy hányféle sorrendbe rendezhetők a betűi. Mindenképpen egy olyan hányadost kapunk, aminek számlálójában a szó hosszának faktoriálisa, nevezőjében pedig az egyforma betűknek megfelelő faktoriálisok szorzata áll. Például egy \(\displaystyle 5\) hosszúságú szónak, amiben csak \(\displaystyle 2\) egyforma betű szerepel \(\displaystyle \frac{5!}{2!}=60\)-féleképpen rendezhetők sorba a betűi. A \(\displaystyle 180\) prímtényezős felbontása: \(\displaystyle 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\). Ezt \(\displaystyle 2\) db \(\displaystyle 2\)-es szorzóval egészíthetjük ki \(\displaystyle 6!\)-ra: \(\displaystyle 6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot (2\cdot3)\), így a nevezőben \(\displaystyle 2! \cdot2!\)-nak kell állnia, azaz olyan \(\displaystyle 6\) betűs szót keresünk, amiben \(\displaystyle 2-2\) betű egyforma. Ilyen pl. a paplak.

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	70 versenyző.
5 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai