A K. 584. feladat (2018. március)

K. 584. A Mikulás nagyon erős, ám puttonyában legfeljebb 100 kg ajándékot bír felvinni az emeletre. A Toldi utca 6-ba háromféle ajándékcsomagot vitt: A, B és C típusút. Mind a három fajta csomag egész kilogramm tömegű. Nyolc A-t és nyolc B-t egyszerre fel tud vinni, de abban a körben már semelyik ajándékból sem vihet többet (sem A-ból, sem B-ből, sem C-ből). Hasonlóképpen nem terhelheti meg jobban már a puttonyát, ha 10 A-t, 4 B-t és 4 C-t visz fel egyszerre. Hány kg-os lehet az A, B és C típusú ajándék?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első megadott feltételből az alábbi egyenlőtlenségeket írhatjuk fel: \(\displaystyle 8A + 8B \leq 100\), \(\displaystyle 9A+8B > 100\), \(\displaystyle 8A + 9B > 100\), \(\displaystyle 8A +8B + C > 100\). Az első egyenlőtlenségből \(\displaystyle A + B \leq 12\). Ha \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) együtt kevesebb, mint \(\displaystyle 12\) kg lenne, akkor \(\displaystyle 9A + 9B < 100\) lenne, tehát csak \(\displaystyle A + B =12\) lehet. Ekkor a többi egyenlőtlenség miatt \(\displaystyle A, B, C > 4\) is teljesül. Innen az \(\displaystyle A = 5\) és \(\displaystyle B = 7\), \(\displaystyle A = 6\) és \(\displaystyle B = 6\), illetve \(\displaystyle A = 7\) és \(\displaystyle B = 5\) lehetőségek adódnak. \(\displaystyle 10A+4B +4C < 100\), amiből \(\displaystyle A+B=12\)-t felhasználva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 6A + 4C < 52\). Mivel \(\displaystyle C\) legalább \(\displaystyle 5\) kg, ezért \(\displaystyle 4C\) legalább \(\displaystyle 20\) kg, így \(\displaystyle 6A\) kevesebb, mint \(\displaystyle 32\) kg. Ez a korábban kapott lehetőségek közül csak \(\displaystyle A=5\) esetén áll fenn. Tehát \(\displaystyle A=5\), \(\displaystyle B=7\). Ekkor \(\displaystyle 4C < 22\) adódik, ez csak \(\displaystyle C=5\) esetén teljesíthető. Tehát az \(\displaystyle A\) típusú csomag \(\displaystyle 5\) kg, a \(\displaystyle B\) típusú csomag \(\displaystyle 7\) kg és a \(\displaystyle C\) típusú csomag \(\displaystyle 5\) kg. Ekkor \(\displaystyle 10A+4B+3C=98\), amihez \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 7\) kg-ot adva már valóban túllépünk a \(\displaystyle 100\) kg-on.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balogh Domonkos, Biró 424 Ádám, Borvák Annamária, Cserkuti Sándor, Fazakas Luca, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, Gazda Fanni, Györgyfalvai Fanni, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Imreh Júlia, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kiss 728 Blanka, Kovács Gábor Benedek, Kulcsár Kevin, Lakatos Enikő, Lengyel Katalin, Mácsai Dániel, Nagy009Dávid, Rassai Erik, Ryan Voecks, Sápi Csaba, Sas 202 Mór, Schenk Anna, Sümegi Géza, Szabó 125 Áron, Tompos Anna, Zempléni Lilla.
5 pontot kapott:	Andó Lujza, Balkányi Zsófia, Buzás Bence István, Farkas 202 Bálint, Kovács 987 Zsófia, Németh Kristóf, Róth Rebeka, Tálas József Soma.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai