 |
A K. 585. feladat (2018. március) |
K. 585. András felír a táblára három (nem feltétlenül különböző) pozitív egész számot, melyek \(\displaystyle 2018\)-nál kisebbek. Egy lépésben András a táblán lévő számokat (\(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\)) letörli és ezen számok helyett az
\(\displaystyle \frac{A+B}2,\quad \frac{B+C}2, \quad \frac{A+C}2 \)
számokat írja fel a táblára. Ezt a lépést összesen \(\displaystyle 11\)-szer megismételve három olyan egész szám van a táblán, melyek közül az egyik a \(\displaystyle 100\). Melyik a táblán lévő másik két szám?
(6 pont)
A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha \(\displaystyle A \leq B \leq C\), akkor a három új számra: \(\displaystyle \frac{A+B}{2}\leq\frac{A+C}{2}\leq\frac{B+C}{2}\). A legnagyobb és a legkisebb különbsége \(\displaystyle \frac{B+C}{2}-\frac{A+B}{2}=\frac{C-A}{2}\), tehát egy lépésben a legnagyobb és a legkisebb táblán lévő szám különbsége feleakkora lesz. Kezdetben ez legfeljebb \(\displaystyle 2016\) lehet, míg a \(\displaystyle 11\). lépés után legfeljebb \(\displaystyle \frac{2016}{2048}\), ami \(\displaystyle 1\)-nél kisebb. Így, ha három egész számot látunk, akkor a legnagyobb és legkisebb különbsége \(\displaystyle 1\)-nél kisebb, tehát csak három egyforma számot láthatunk. Tehát ez a három szám csak a \(\displaystyle 100\), a \(\displaystyle 100\) és a \(\displaystyle 100\) lehet. Ez meg is valósulhat, legegyszerűbben a \(\displaystyle 100\), \(\displaystyle 100\), \(\displaystyle 100\) kezdőszámokkal.
Statisztika:
39 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Andó Lujza, Balogh Domonkos, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Cserkuti Sándor, Fajka Lilla, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, H. Tóth Noel, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kiss 728 Blanka, Kovács 987 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Lakatos Enikő, Mácsai Dániel, Mályusz Etre, Sümegi Géza, Szabó Csege, Tompos Anna, Zempléni Lilla. 5 pontot kapott: Szecskás János. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai