 |
A K. 595. feladat (2018. október) |
K. 595. A QUARTO egy táblás stratégiai játék (1991), két személy játssza. Blaise Müller svájci matematikus találta ki. A játékban szereplő 16 figura mindegyike különbözik valamiben a többitől. A figurák négy szempont alapján is két egyforma csoportra oszthatók:
– magas vagy alacsony;
– sötét vagy világos;
– kerek vagy szögletes;
– a teteje lyukas vagy sima.
Hányféleképpen választhatunk ki a készletből két olyan figurát, amelyek pontosan kettő vagy három tulajdonságban egyeznek meg?
(6 pont)
A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.
Első megoldás. Mivel egy figurának négy tulajdonága van, így ezek közül kettő közös tulajdonságot \(\displaystyle \binom42=6\)-féleképpen tudunk kiválasztani, hármat pedig \(\displaystyle \binom43=4\)-féleképpen. Ekkor a nem választott tulajdonságok éppen „ellentétesek” kell, legyenek, így kapunk egy-egy megfelelő párt. Tehát egy figurához tíz olyan figurát találhatunk, amely vele pontosan kettő vagy három tulajdonságban egyezik meg. Ez minden figurára igaz. Figyelembe véve, hogy így egy megfelelő figura-párt kétszer is számolunk, így a megfelelő figurapárok száma \(\displaystyle 16 \cdot 10 : 2 = 80\).
Második megoldás. Összesen \(\displaystyle 16 \cdot 15 : 2 = 120\)-féleképpen választhatunk ki két figurát, melyeknek lehet \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), vagy \(\displaystyle 3\) közös tulajdonsága (\(\displaystyle 4\) közös tulajdonság nem lehet).
Mivel egy figurának négy tulajdonsága van, így ezek közül egy közös tulajdonságot négyféleképpen tudunk kiválasztani. Ekkor a nem választott tulajdonság éppen „ellentétes” kell, legyen, így kapunk egy-egy megfelelő párt. Tehát egy figurához négy olyan figurát találhatunk, amely vele pontosan egy tulajdonságban egyezik meg. Ez minden figurára igaz. Figyelembe véve, hogy minden figurapárt kétszer választottunk ki, a megfelelő figurapárok száma \(\displaystyle 16 \cdot 4 : 2 = 32\).
Olyan figurapár, melyekben nincs közös tulajdonsága a figuráknak, \(\displaystyle 8\) van.
Tehát \(\displaystyle 120 \cdot (32 + 8) = 80\) olyan figurapár van, amelyben a figuráknak két vagy három közös tulajdonságuk van.
Statisztika:
190 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 99 versenyző. 4 pontot kapott: 23 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 22 versenyző. 0 pontot kapott: 19 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 22 dolgozat.
A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai