A K. 602. feladat (2018. november)

K. 602. András és Pali játszanak. A nyertes mindig \(\displaystyle x\), a vesztes mindig \(\displaystyle y\) pontot kap (\(\displaystyle x>y\) egész számok), döntetlen nincs. Néhány kör után Andrásnak 30, Palinak 25 pontja van, mert Pali csak kétszer nyert. Mennyit kap a nyertes?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle n\)-szer játszottak összesen, akkor Andrásnak \(\displaystyle (n–2)x+2y = 30\), Palinak \(\displaystyle 2x+(n–2)y=25\) pontja van. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat: \(\displaystyle (n-2)x+2y – (2x+(n–2)y) = 5\). A bal oldalt rendezve:

\(\displaystyle (n–2)x–(n–2)y–2x+2y = (n–2)(x–y)–2(x–y) = (n–2–2)(x–y) = (n–4)(x–y) = 5.\)

Mivel \(\displaystyle x>y\) egész számok, így \(\displaystyle n–4 = 5\) és \(\displaystyle x–y = 1\) vagy \(\displaystyle n–4 = 1\) és \(\displaystyle x–y = 5\), azaz \(\displaystyle n = 9\) és \(\displaystyle y = x–1\) vagy \(\displaystyle n = 5\) és \(\displaystyle y = x–5\). Az első esetben András pontjai \(\displaystyle 7x+2(x–1)=30\), azaz \(\displaystyle 9x = 32\), ami nem lehet, ha \(\displaystyle x\) egész. A második esetben \(\displaystyle 3x+2(x–5)=30\), azaz \(\displaystyle 5x=40\), ahonnan \(\displaystyle x=8\), \(\displaystyle y=3\), ami mindhárom egyenletnek megfelel. Tehát a nyertes \(\displaystyle 8\) pontot kap körönként.

Statisztika:

172 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	58 versenyző.
5 pontot kapott:	31 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	15 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	20 dolgozat.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai