A K. 620. feladat (2019. március)

K. 620. Öt pozitív egész szám összege 20. Az öt szám páronként vett különbségeinek abszolút értéke: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10. Adjuk meg az összes ilyen számötöst.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a különbségek között a \(\displaystyle 0\) nem szerepel, így öt különböző számot keresünk. A legnagyobb és a legkisebb szám különbsége \(\displaystyle 10\). A másik három közöttük lévő szám olyan, hogy a legkisebb és a legnagyobb számtól vett különbségeik összege \(\displaystyle 10\). Ezek a különbségpárok csak az \(\displaystyle 1-9\), \(\displaystyle 3-7\), és \(\displaystyle 4-6\) lehetnek (valamilyen sorrendben). Mivel a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\) különbségek maradtak ki, így a három középső szám párosával vett különbsége \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\). Közülük a két szélső különbsége csak az \(\displaystyle 5\) lehet, és a harmadik szám vagy \(\displaystyle 2\)-vel, vagy \(\displaystyle 3\)-mal nagyobb a másodiknál.

Legyen \(\displaystyle x\) a második legkisebb szám. Ekkor a rákövetkezők \(\displaystyle x+2\) és \(\displaystyle x+5\), vagy \(\displaystyle x+3\) és \(\displaystyle x+5\) lehetnek.

Mivel a különbségek között szerepel az \(\displaystyle 1\), így az már csak vagy a két legkisebb, vagy a két legnagyobb szám különbsége lehet.

Négy eset van:

(1) \(\displaystyle x-1\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+2\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+9\), ahonnan \(\displaystyle (x-1)+x+(x+2)+(x+5)+(x+9)=20\), az egyenletet megoldva \(\displaystyle x=1\), az öt szám pedig \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 10\). Azonban nem mind az öt pozitív.

(2) \(\displaystyle x-4\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+2\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+6\), de ez nem felel meg, mert a \(\displaystyle 4\)-es különbség kétszer is előfordul (\(\displaystyle x-(x-4) = (x+6)-(x+2)=4\)).

(3) \(\displaystyle x-1\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+3\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+9\), de ez sem felel meg, mert a \(\displaystyle 4\)-es különbség kétszer is előfordul (\(\displaystyle (x+3)-(x-1) = (x+6)-(x+2)=4\)).

(4) \(\displaystyle x-4\), \(\displaystyle x\), \(\displaystyle x+3\), \(\displaystyle x+5\), \(\displaystyle x+6\), ahonnan \(\displaystyle (x-4)+x+(x+3)+(x+5)+(x+6)=20\), az egyenletet megoldva \(\displaystyle x=2\), az öt szám pedig \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\). Azonban nem mind az öt pozitív.

Tehát nincs megfelelő számötös.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Császár Boglárka, Cserkuti Sándor, Egyházi Hanna, Fonyódi Sára, Hamvas Johanna Kata, Hoffmann Szabolcs, Malatinszki Hanna, Márky Anna, Németh László Csaba, Osváth Klára, Reviczki Roland, Riba Dániel, Sebestyén Pál Botond, Somogyi Dalma, Szepesi Dorina, Szlobodics Soma, Tóth Vivien, Váczy Dorottya.
5 pontot kapott:	Bana Marcell, Csuvár Ákos, Flódung Áron , Kalocsai Zoltán, Ludvig Emese Ágota, Mátéfy Ádám , Metzger Ábris András, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Sámuel Laura , Szabó 003 Szabina, Szépvölgyi Gergely, Szin Imola, Tarján Teréz, Tóth Merse Ferenc, Varga 601 Zalán, Varga 928 Péter.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai