A K. 621. feladat (2019. március)

K. 621. Egy kilenc fős matekszakkörön az ábrán látható \(\displaystyle 3\times3\)-as osztású négyzet alakú zászlót terveznek. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat festik fel a kilenc tartományba úgy, hogy mindegyik oszlopban, sorban és átlóban a számok összege osztható legyen 3-mal. Hányféle különböző zászlót készíthetnek?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha három szám összege osztható hárommal, akkor vagy ugyanolyan maradékot adnak 3-mal osztva, vagy különböző maradékot. A számokat hármas maradékuk szerint háromféle csoportba oszthatjuk, mindhárom csoportba három szám kerül. Az alábbi kitöltésben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) a hármas maradékok egy kiosztása és a kitöltést is csak a maradékok szerint vizsgáljuk egyelőre. Ha három különböző maradék kerül minden sorba és oszlopba is: legyen az első sor kitöltése \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\). A második sorban \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle b\) alatt vagy \(\displaystyle c\) alatt lehet, ekkor a táblázatok kitöltése már adódik a fentiek szerint. Ha három egyforma maradék kerül a sorokba vagy az oszlopokba, akkor pedig további kétféle kitöltést kaphatunk az ábra szerint.

\(\displaystyle a\) értéke lehet \(\displaystyle 3\)-féle, \(\displaystyle b\) értéke 2-féle lehet, ekkor \(\displaystyle c\) értéke már adódik. Ez \(\displaystyle 6\)-féle maradékkiosztást jelent mind a négy esetben. Minden maradéktípusnál \(\displaystyle 3\cdot2\cdot1=6\)-féle belső kitöltés lehet. Így összesen \(\displaystyle 4\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6 = 5184\)-féle különböző zászlót készíthetnek.

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bana Marcell, Cserkuti Sándor, Egyházi Hanna, Ferencz Lilla, Hamar János, Hegedűs András , Kalocsai Zoltán, Károly Kinga, Király Előd István, Márky Anna, Mócsy Mátyás, Mohay Lili Veronika, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Osváth Klára, Propp Kristóf, Rács Zsóka, Riba Dániel, Richlik Bence, Sebestyén Pál Botond, Somogyi Dalma, Szabó 696 Ádám, Szabó09 Zsuzsanna, Varga 928 Péter.
5 pontot kapott:	Imreh Lili, Keresztes Balázs, Malatinszki Hanna, Nagy Bianka , Szirmai Dénes, Tóth Vivien, Udvardy Kata.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai