A K. 636. feladat (2019. november)

K. 636. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számjegyet, melyre az \(\displaystyle \overline{xyxyxyxy}\) alakú tízes számrendszerbeli nyolcjegyű szám prímtényezős felbontásának leírásakor minden leírt, \(\displaystyle 0\)-tól különböző számjegy ugyanannyiszor szerepel. (A prímtényezős felbontás leírásakor az azonos prímtényezőket nem vonjuk össze hatvánnyá, hanem teljes szorzatként írjuk ki.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle \overline{xyxyxyxy}=\overline{xy}\cdot1010101=\overline{xy}\cdot101\cdot73\cdot137\). A számjegyek között szerepel három \(\displaystyle 1\)-es, két \(\displaystyle 3\)-as és két \(\displaystyle 7\)-es, ezért az prímtényezős felbontásának leírásában legalább egy \(\displaystyle 7\)-es és legalább egy \(\displaystyle 3\)-as szerepel. Ha pontosan ennyi szerepel, akkor az \(\displaystyle \overline{xy}=73\), \(\displaystyle \overline{xy}=37\), illetve \(\displaystyle \overline{xy}=7\cdot3=21\) a megfelelő számok. Ha több hetest és hármast teszünk a számjegyek közé, akkor legalább egy \(\displaystyle 1\)-est is hozzá kell vennünk, azonban ezt össze kell kombinálnunk valamelyik másik számjeggyel. A legkisebb elérhető szám ilyen módon a \(\displaystyle 13\cdot3\cdot7\cdot7\) lenne, ez azonban már nem kétjegyű. Tehát \(\displaystyle 3\)-nál több \(\displaystyle 7\)-es és \(\displaystyle 3\)-as nem tehető be a szám prímtényezős felbontásának számjegyei közé. Az is még egy lehetőség, hogy az egy \(\displaystyle 7\)-es és \(\displaystyle 3\)-as mellé beteszünk még három egyforma számjegyet. Erre a legkisebb lehetőség a \(\displaystyle 2\), azonban a \(\displaystyle 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7\) már szintén nem kétjegyű. Tehát a megoldás: \(\displaystyle x=7\) és \(\displaystyle y=3\), \(\displaystyle x=3\) és \(\displaystyle y=7\), \(\displaystyle x=2\) és \(\displaystyle y=1\).

Statisztika:

92 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Abonyi Bence, Ágoston Barbara, Árok Anna, Atanaszov Hedvig, Besze Zsolt, Csuvár Ákos, Cynolter Dorottya, Cziráki Boglárka, Ferencz Mátyás, Gardev Dániel, Gere Gábor, Hajós Balázs, Hangodi Hajnalka, Hartmann Botond, Jaskó Martin Csaba, Kaltenecker Balázs Bence, Kmeczó András, Kurucz Márton, Nagy 999 Csanád, Nemeskéri Dániel, Pálfi Fruzsina Karina, Pekk Márton, Radzik Réka, Schleier Anna , Sipos Dorka, Szirtes Hanna, Tóth Gréta, Van Rijs Dóra, Van Rijs Luca, Vékási Flóra, Waldhauser Miklós, Welther Károly.
5 pontot kapott:	Csorba Mihály, Deák Gergely, Fekete Patrik, Havasi Marcell Milán, Kádár 1115 Júlia, Murár András , Sebők Tímea, Somlai Dóra, Szabó Viktória, Varga 326 Sebestény.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai