 |
A K. 638. feladat (2019. november) |
K. 638. Fibonacci-szerű sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, melyekben a harmadik tagtól kezdve minden tag az őt közvetlenül megelőző két tag összege. Fibonacci-szerű sorozat pl. az 1, 1-gyel kezdődő \(\displaystyle 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots\) sorozat (ezt nevezik Fibonacci-sorozatnak), de pl. az 1, 3-mal kezdődő \(\displaystyle 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, \dots\) sorozat is. Keressük meg azt a csupa pozitív egész számból álló Fibonacci-szerű sorozatot, melynek tagja a 2010, és a 2010 előtt a lehető legtöbb tagot tartalmazza.
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle k\) a sorozatban a \(\displaystyle 2010\)-et megelőző tag. Ekkor a képzési szabály szerint a \(\displaystyle k\) előtti tag \(\displaystyle 2010-k\), és tudván, hogy ez pozitív, a \(\displaystyle k < 2010\) feltételnek teljesülni kell. Foglaljuk táblázatba ennek megfelelően a korábbi tagokat, és írjuk fel annak feltételét is, hogy a megfelelő tag pozitív egész legyen!
| A sorozat tagjai | Feltétel |
| 2010 | |
| \(\displaystyle k\) | \(\displaystyle k > 0\) |
| \(\displaystyle 2010 – k > 0\) | \(\displaystyle 2010 > k\) |
| \(\displaystyle k – (2010 – k) = 2k – 2010 >0\) | \(\displaystyle k > 1005\) |
| \(\displaystyle 2010 – k – (2k – 2010) = 4020 – 3k > 0\) | \(\displaystyle 1340 > k\) |
| \(\displaystyle 2k – 2010 – (4020 – 3k) = 5k – 6030 >0\) | \(\displaystyle k > 1206\) |
| \(\displaystyle 4020 – 3k – (5k – 6030) = 10050 – 8k > 0\) | \(\displaystyle 1257 > k\) |
| \(\displaystyle 5k – 6030 – (10050 – 8k) = 13k – 16080 > 0\) | \(\displaystyle k > 1236\) |
| \(\displaystyle 10050 – 8k – (13k – 16080) = 26130 – 21k > 0\) | \(\displaystyle 1245 > k\) |
| \(\displaystyle 13k – 16080 – (26130 – 21k) = 34k – 42210 > 0\) | \(\displaystyle k > 1241\) |
| \(\displaystyle 26130 – 21k – (34k – 42210) = 68340 – 55k > 0\) | \(\displaystyle 1243 > k\) |
A két utolsóként kapott feltételből már csak a \(\displaystyle k=1242\) egyetlen lehetőség adódik, a sorozat tagjait visszafelé kifejtve kapjuk a \(\displaystyle 30\), \(\displaystyle 18\), \(\displaystyle 48\), \(\displaystyle 66\), \(\displaystyle 114\), \(\displaystyle 180\), \(\displaystyle 294\), \(\displaystyle 474\), \(\displaystyle 768\), \(\displaystyle 1242\), \(\displaystyle 2010\), ... sorozatot.
Statisztika:
77 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Besze Zsolt, Fekete Patrik, Gál Csaba, Hajós Balázs, Havasi Marcell Milán, Jakusch Tamás, Kurucz Márton, Murai Dóra Eszter, Nemeskéri Dániel, Pekk Márton, Radzik Réka, Sachs Beáta, Sipeki Márton, Szalay Tamás Soma, Van Rijs Dóra. 5 pontot kapott: Bundik Brigitta, Cynolter Dorottya, Deme Erik, Gere Gábor, Héjj Anna, Jaskó Martin Csaba, Kedves Benedek János, Nagy László Zsolt, Szabó Viktória, Szakmáry-Hegyi Katalin, Szirtes Hanna, Tóth Gréta, Vankó Lóránt Albert, Varga 128 Erik. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai