 |
A K. 669. feladat (2020. november) |
K. 669. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek szomszédos számjegyeiből kiolvasható az 1, 2, 3 számokból képezhető összes olyan háromjegyű szám, mely különböző számjegyekből áll?
(6 pont)
A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) számokból hatféle háromjegyű szám képezhető: \(\displaystyle 123\), \(\displaystyle 132\), \(\displaystyle 213\), \(\displaystyle 231\), \(\displaystyle 312\), \(\displaystyle 321\). A legkisebb ilyen szám a lehető legkevesebb számjegyből áll. Ha nyolc számjeggyel megoldható lenne a feladat, akkor az \(\displaystyle ABCDEFGH\) számban \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle BCD\), \(\displaystyle CDE\), \(\displaystyle DEF\), \(\displaystyle EFG\) és \(\displaystyle FGH\) mind különböző számok és mindegyik jegy az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) közül való, akkor \(\displaystyle A\neq B\) és \(\displaystyle B\neq C\) és \(\displaystyle A\neq C\), így \(\displaystyle A=D\), hasonlóan \(\displaystyle B=E\), \(\displaystyle C=F\), \(\displaystyle \ldots\), ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle ABC=DEF\), tehát nyolc számjegyű nem lehet a szám.
Kilenc számjegyű számmal a feladat megoldható: \(\displaystyle 123121321\), melyből kiolvasható az \(\displaystyle 123\), \(\displaystyle 231\), \(\displaystyle 312\), \(\displaystyle 213\), \(\displaystyle 132\) és a \(\displaystyle 321\), és ennél kisebb megfelelő kilencjegyű számot nem találhatunk, mert a legnagyobb helyiértékeken a rendelkezésre álló legkisebb jegyek szerepelnek.
Statisztika:
119 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 55 versenyző. 5 pontot kapott: 11 versenyző. 4 pontot kapott: 9 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai