A K. 680. feladat (2021. január)

K. 680. Egy kocka négy lapját befestettük pirosra, majd a kockát szétvágtuk 125 darab egyforma kiskockára. Ezek között hány olyan lehet, amelynek egyik lapja sem festékes?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Bármelyik négy lapot is festjük be, a kocka belsejében levő \(\displaystyle 3\times3\times3=27\) db kiskocka egyik lapja sem lesz festékes. A nagy kocka négy lapjának befestése egyben azt is jelenti, hogy két lapot nem festettünk be. Ez a két lap kétféleképpen helyezkedhet el: szemköztiek vagy szomszédosak. Ha szemköztiek, akkor a két festetlen lap közepén levő \(\displaystyle 3\times3\) kocka egyik lapja sem festékes, a többi felületen levő kockáknak pedig legalább az egyik lapja festékes lett. Ebben az esetben tehát összesen \(\displaystyle 27+9+9=45\) darab festetlen lapokkal határolt kiskockát találunk. Ha a két festetlen lap szomszédos, akkor a két lap közepén levő kiskockákon kívül a közös élen levő nem csúcskockák is festetlenek, tehát az előzőhöz képest 3-mal több, azaz 48 festetlen kiskockát találunk.

Statisztika:

130 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	93 versenyző.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai