A K. 683. feladat (2021. január)

K. 683. A körbe írható \(\displaystyle ABCDEFG\) hétszögben az \(\displaystyle ABC\sphericalangle\), \(\displaystyle CDE\sphericalangle\) és \(\displaystyle EFG\sphericalangle\) szögek összege nagyobb \(\displaystyle 450^{\circ}\)-nál. Mutassuk meg, hogy a köré írt kör középpontja nem lehet sem a hétszögön belül, sem annak valamelyik oldalán.

(The University of Stirling, school mathematics competition, 1983)

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Rajzoljuk meg a hétszög köré írható kört! Tegyük fel, hogy ennek O középpontja a hétszög belsejébe esik! Kössük össze az O középpontot a hétszög csúcsaival. Így 7 db egyenlő szárú háromszöget kapunk, melyek együttesen lefedik a hétszöget. Az ezek alapján fekvő szögeket az OAB háromszögtől kezdve jelölje rendre \(\displaystyle \alpha \), \(\displaystyle \beta \), \(\displaystyle \gamma \), \(\displaystyle \delta \), \(\displaystyle \varepsilon \), \(\displaystyle \phi \) és \(\displaystyle \lambda \).

A három említett szög ABC\(\displaystyle \angle = \alpha + \beta \), CDE\(\displaystyle \angle = \gamma + \delta \), EFG\(\displaystyle \angle = \varepsilon \) \(\displaystyle + \phi \). Ezek összege 450 foknál nagyobb, és a hétszög belső szögeinek összege 900 fok. Az elrendezésből adódóan a hétszög szögeinek összege 2(\(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma + \delta +\) \(\displaystyle \varepsilon + \phi + \lambda )\), ami 900 foknál nagyobb, mert \(\displaystyle \alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon +\) \(\displaystyle \phi \) nagyobb 450 foknál. Ez viszont nem lehet, tehát az említett 7 háromszög nem jöhet létre az ábra szerinti elrendezésben, vagyis a középpont nem lehet a hétszög belsejében. Ha a középpont a hétszög valamelyik oldalára esik, akkor annyiban módosulnak a fentiek, hogy az egyik háromszög nem jön létre, csak 6 háromszöget kapunk. Ha viszont a hetedik háromszöget is létrehozottnak tekintjük 180, 0, 0 fokos szögekkel, akkor a fentiek pontosan ugyanúgy elmondhatók. Tehát a kör középpontja a hétszög egyik oldalára sem eshet.

Statisztika:

60 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Barta Veronika, Bunford Luca, Dóczi Sára, Fodor Gergely, Fórizs Borbála, Gulyás Janka, Hochenburger Zoárd, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Mayer Krisztián, Nagy 123 Krisztina.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Biró Anna, Biró Róza, Fórizs Emma, Laskai Botond, Lőrincz Panna, Molnár Kristóf, Sebestyén József Tas, Susán Henrik, Végh Lilian.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai