A K. 700. feladat (2021. október)

K. 700. Van tíz számkártyánk, melyeken az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 és 10 számok állnak. A kártyákat egymás mellé tesszük az asztalra és hármasával összeadjuk a rajtuk álló számokat: először az 1., 2., 3.; majd a 2., 3., 4.; a 3., 4., 5.; és így tovább; végül a 8., 9., 10. kártyákon lévőket. Így rendre az alábbi összegeket kapjuk: 14, 18, 24, 23, 24, 21, 16, 12. Mennyi az első és az utolsó kártyára írt számok összege?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha az első és az utolsó két kártyán lévő, illetve az első kettő és az utolsó kártyán lévő számok összegét is vesszük, akkor a tíz összegben minden számot pontosan háromszor használtunk, így az összegek összege a számok összegének háromszorosa, vagyis \(\displaystyle 3\cdot(1+2+\ldots+10)=3\cdot\frac{10\cdot11}{2}=165\). A megadott nyolc szám összege 152, így a hiányzó két összeg összege 13. A három legkisebb szám összege 6, így 13 csak úgy lehet ez az összeg, ha az egyik összeg 6, a másik pedig 7. Az első és utolsó szám az 1 és 2 lehet csak (vagy fordítva), a második és kilencedik szám pedig a 3 és 4 (vagy fordítva). Így az első és utolsó kártyára írt számok összege 3.
Megjegyzés: a megadott összegek meg is valósulhatnak például a 1, 4, 9, 5, 10, 8, 6, 7, 3, 2 számsorrend esetén.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	77 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai