A K. 705. feladat (2021. november)

K. 705. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számok közül kiválasztunk három különböző számot és összeadjuk őket. Ezt minden lehetséges számhármassal megtesszük. Az összeadások között lesznek páros és páratlan eredményűek. Melyikből lesz több, a páros vagy a páratlan eredményűből?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Négy páros és négy páratlan számunk van. Az összeg pontosan akkor lesz páros, ha mindhárom szám páros, vagy egy páros és két páratlan szám szerepel benne. Mindhárom szám páros négyféleképpen (2-4-6, 2-4-8, 2-6-8, 4-6-8), egy páros és két páratlan szám (1-3, 1-5, 1-7, 3-5, 3-7, 5-7) pedig \(\displaystyle 4\cdot6=24\)-féleképpen lehet. Összesen 28 esetben lesz páros az összeg.

Az összeg pontosan akkor lesz páratlan, ha mindhárom szám páratlan, vagy egy páratlan és két páros szám szerepel benne.

Mindhárom páratlan négyféleképpen lehet (1-3-5, 1-3-7, 1-5-7, 3-5-7), egy páratlan és két páros (2-4, 2-6, 2-8, 4-6, 4-8, 6-8) pedig \(\displaystyle 4\cdot=24\)-féleképpen lehet. Összesen 28 esetben lesz páratlan az összeg.

Tehát ugyanannyi páros és páratlan összeget kapunk.

2. megoldás. Mivel ugyanannyi páros számunk van, mint páratlan, ezért ugyanannyi féle módon választhatunk három párosat, mint három páratlant. Az előbbiek összege páros, utóbbiaké páratlan lesz.

Hasonlóan meggondolható, hogy ugyanannyiféleképpen választhatunk ki egy páros és két páratlan számot, mint egy páratlant és két párost. Előbbiek összege páros, utóbbiaké páratlan lesz.

Mivel a kiválasztott három szám paritását tekintve minden lehetőséget megvizsgáltunk, kijelenthető, hogy az eredmények között ugyanannyi lesz páros, mint páratlan.

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	56 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	35 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai