 |
A K. 73. feladat (2006. február) |
K. 73. Az 5 cm oldalhosszúságú ABCD négyzet CD oldalára kifelé megrajzoltuk a CDE szabályos háromszöget.
a) Határozzuk meg az ABE háromszög szögeinek nagyságát.
b) Mekkora a sugara annak a körnek, amelyre az ABE háromszög mindhárom csúcsa illeszkedik?
(6 pont)
A beküldési határidő 2006. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás:
a) Az ADE szög 150o, mivel ADC szög 90o és CDE szög pedig 60o. Az ADE háromszög egyenlő szárú háromszög, ezért DAE szög nagysága 15o. Mivel BAD szög 90o, ezért BAE szög 75o. A szimmetria miatt ABE háromszög egyenlő szárú, tehát ABE szög is 75o-os. Így az AEB szög nagysága 30o.
b) Toljuk el a DCE háromszöget az ABF háromszögbe. Az eltolás 5 cm-en történt (a négyzet oldala mentén), így EF hossza 5 cm. Másrészt viszont az eltolt szabályos háromszög minden oldala szintén 5 cm hosszú, tehát az F pont 5 cm távolságra van A, B és E pontoktól. Ez azt jelenti, hogy az ABE háromszög minden csúcsa illeszkedik az F közepű, 5 cm sugarú körre. Tehát a keresett sugár hossza 5 cm.
Statisztika:
176 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 76 versenyző. 5 pontot kapott: 20 versenyző. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 3 pontot kapott: 34 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 8 dolgozat.
A KöMaL 2006. februári matematika feladatai