A K. 745. feladat (2022. december)

K. 745. Egy társasjátékban a játékosok pontokat gyűjtenek. A játékosok sorban egymás után következnek. Amikor egy játékosra sor kerül, akkor ő (szerencsétől függően) akármennyi, de nemnegatív egész számú pontot gyűjthet (így akár 0 pontot is kaphat). A játékos által a játék során szerzett pontok összeadódnak. Ha az összes játékos által szerzett pontok összege eléri az 1000-et, akkor a játék azonnal véget ér (így a befejező játékos az utolsó körében csak annyi pontot tud szerezni, amennyivel az összeg 1000 lesz). A játékot az nyeri, akinek a legtöbb pontja van, holtverseny esetén az nyer, aki először érte el az adott pontszámot; a második legtöbb pontot gyűjtő játékos ér el második helyezést stb.

A játék állása jelenleg: Kati 314 pont, Sanyi 207 pont, Jancsi 58 pont, Gizi 31 pont, Józsi 0 pont.

\(\displaystyle a)\) Ha most Kati következik, minimálisan hány pontot kell szereznie ebben a körben, hogy biztosan legalább második helyezést érjen el?

\(\displaystyle b)\) Ha most Sanyi következik, minimálisan hány pontot kell gyűjtenie ebben a körben, hogy biztosan legalább második helyezést érjen el?

\(\displaystyle c)\) Ha most Józsi következik, minimálisan hány pontot kell gyűjtenie ebben a körben, hogy biztosan legalább második helyezést érjen el?

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Kati akkor nem lesz legalább második helyezett, ha két másik játékos is megelőzi őt, azaz – mivel most Kati jön – a végén ketten is több pontot szereznek nála. A lehető legkevesebb pont felhasználásával ezt Sanyi és Jancsi tudná megtenni. Ha ők már nem tudják Katit mindketten megelőzni, mert nem lesz ehhez elég maradék pont az 1000-ből, akkor a többi játékos sem tudja ezt megtenni, mert nekik még több pont kellene hozzá. Ha az 1000-ből a Gizi 31 pontján kívüli 969 pont harmadát, 323 pontot összesen megszerez Kati, akkor ezzel elérte a célját, hiszen a végelszámolásnál a másik két játékos legfeljebb a kétharmadon osztozhat, így mindkettőjük egyszerre nem szerezhet többet ennél az egyharmad résznél. (322 pont azonban nem elegendő Katinak, mert ebben az esetben a végén lehet például rendre 322, 324, 323, 31, 0 a megszerzett pontok száma, vagyis ketten is megelőzhetik őt.) Tehát Katinak minimálisan \(\displaystyle 323-314=9\) pontot kell szereznie ebben a körben.

\(\displaystyle b)\) Sanyi esetében ugyanazt mondhatjuk el, mint az előbb Katinál (őt a lehető legkevesebb pont felhasználásával Kati és Jancsi előzhetné meg), így neki is összesen 323 pontot kell megszereznie. Tehát Sanyinak minimálisan \(\displaystyle 323-207=116\) pontot kell szereznie ebben a körben.

\(\displaystyle c)\) Eddig összesen \(\displaystyle 314+207+58+31=610\) pontot szereztek a játékosok, így 390 pont szerezhető még. Józsinak most 207 pont a hátránya Sanyival szemben. Ha Józsi a hátralevő 390 pontból megszerezne 207-et, és a maradék felét, akkor Sanyi már nem tudná visszaelőzni. \(\displaystyle (390-207):2=91,5\), felfelé kerekítve 92. Tehát ha Józsi a most következő körben megszerez legalább \(\displaystyle 207+92=299\) pontot, akkor Sanyi már nem tudja visszaelőzni, mert neki a hátralevő 91 ponttal csak 298 pontja lenne. Így, ha Józsi nem szerzett 314 pontnál többet, akkor második lesz; egyébként pedig már csak Kati tudja megelőzni, mert neki lesz még erre lehetősége. Tehát a második vagy jobb helyezést garantált.

Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Castro Csongor, Demeter Hanna Bereniké, Derűs Ádám , Domján István, Juhász Jázmin Izabella, Kaposi-Ly Dávid, Kókai Ákos, Kormos Gellért, Kökény Kristóf, Libor Andrea, Molnár Lili, Sipos Márton, Tóth 207 Bence.
4 pontot kapott:	Tóth Hanga Katalin.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai