 |
A K. 75. feladat (2006. február) |
K. 75. A K1, K2, K3 középpontú r sugarú körök mindegyikére illeszkedik a K pont. Két-két kör további közös pontja a P, Q, illetve R pontok. Mutassuk meg, hogy a K1K2K3 és a PQR háromszögek egybevágók.
(6 pont)
A beküldési határidő 2006. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás:
Használjuk az ábrák jelöléseit! Ha két egyforma sugarú kör metszi egymást két pontban, akkor a körök középpontjai és metszéspontjai egy rombuszt alkotnak, a kétirányú tengelyes szimmetria miatt. Ennek megfelelően (az ábra jelöléseit használva) a K1KK2P négyszög rombusz, tehát K1K2 és KP szakaszok kölcsönösen merőlegesen felezik egymást. Hasonlóan K2K3 és KQ, valamint K1K3 és KR szakaszok is. A megfelelő felezőpontokat jelölje F, G, H. Innen kétféleképpen lehet befejezni.
I. befejezés: A korábban mondottak miatt a PRK háromszögben FH középvonal, tehát párhuzamos PR-rel és feleakkora, mint PR. Ugyanakkor FH középvonal a K1K2K3 háromszögben is, tehát párhuzamos K2K3-mal és feleakkora, mint K2K3. Ebből következik, hogy PR párhuzamos és egyenlő K2K3-mal, Hasonlóan mutatható meg, hogy PQ párhuzamos és egyenlő K1K3-mal és QR párhuzamos és egyenlő K2K1-gyel. Tehát a K1K2K3 háromszög és a PQR háromszög egybevágók, mert megfelelő oldalaik egyenlők (és párhuzamosak is).
II. befejezés: Az elmondottakból következően az FGH háromszöget a K pontból kétszeresére nagyítva a PQR háromszöget kapjuk. Mivel FGH a K1K2K3 háromszög középvonalai által alkotott háromszög, ezért ahhoz hasonló, és a hasonlóság aránya 1/2. (A hasonlóság középpontja a K1K2K3 háromszög súlypontja.) Tehát a K1K2K3 háromszög és a PQR háromszög egybevágók. (A K1K2K3 háromszöget a súlypontjából 1/2 arányban kicsinyítjük, majd a kapott háromszöget K-ból kétszeresére nagyítjuk, és így kapjuk a PQR háromszöget.)
Statisztika:
92 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bencs 111 Ferenc, Bereczki 118 Katalin, Berinkei Ottó, Besnyő Réka, Bihari Mónika, Borbás Bence, Boros Csanád Örs, Csányi János Dániel, Cseresznyék Dávid, Czapf Anna, Dániel Balázs, Egyed Zsombor, Englert Dávid, Erdész Zsombor Bálint, Horváth 003 Péter, Huszár Kristóf, Iván Dávid, Király Csilla, Kovács 007 Attila, Kunos Ádám, Kurgyis Kata, Lantos Tamás, Lenzsér Gábor, Meszlényi Regina, Molnár 289 András, Németh Erika Judit, Petróczy Dóra Gréta, Róka Péter, Schlarb Krisztián, Solymos Tamás, Szepesvári Dávid, Szikszay László, Zsupanek Alexandra. 5 pontot kapott: Ballér Krisztián, Márki Róbert. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 33 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2006. februári matematika feladatai