A K. 78. feladat (2006. február)

K. 78. Ha egy téglatest összes éle mérőszámának összegéből levonjuk a felszínének mérőszámát, majd a kapott számhoz hozzáadjuk a téglatest térfogatának mérőszámát, 8-at kapunk. Bizonyítsuk be, hogy a téglatest egyik élének mérőszáma 2.

(6 pont)

A beküldési határidő 2006. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás: 8=4x+4y+4z-2(xy+xz+yz)+xyz. Ha ebbe az egyenlőségbe pl. z helyére 2-t helyettesítünk, akkor azonosságot kapunk, tehát ha a téglatest egyik élének hossza 2, akkor a másik két él mindegy, mekkora. Ha pl. z helyébe (2+a)-t helyettesítünk, akkor a zárójelek felbontása és összevonás után a 0=a^.(xy-2x-2y+4) alakot kapjuk. A jobb oldali kifejezést szorzattá alakítva 0=a^.(x-2)^.(y-2). Ez pontosan akkor teljesül, ha a=0 vagy x=2 vagy y=2, azaz ha valamelyik él hosszának mérőszáma 2.

Másképp: A 0=4x+4y+4z-2(xy+xz+yz)+xyz-8 egyenletben a jobb oldali kifejezés szorzattá alakítható: 0=(x-2)(y-2)(z-2). Ez akkor 0, ha valamelyik él hossza 2.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balázs Gábor, Bálint Alexandra Mercédesz, Ballér Krisztián, Bárány Dávid, Bencs 111 Ferenc, Berinkei Ottó, Besnyő Réka, Borbás Bence, Csányi János Dániel, Csere Kálmán, Csintalan Georgina, Czapf Anna, Dániel Balázs, Erdész Zsombor Bálint, Fehér 002 Eszter, Glasenhardt Katalin, Honfi Dávid, Horváth 003 Péter, Huszár Kristóf, Iván Dávid, Izsó Dániel, Jób Eszter, Jónás Eszter, Kovács 002 Krisztina, Kovács Györgyi, Kovács Sarolta, Kunos Ádám, Kurgyis Kata, Lang Péter, Lantos Tamás, Márki Róbert, Michael Swift, Németh Erika Judit, Nyerges Csaba, Penk Nikolett, Róka Péter, Rupert Szabolcs, Schlarb Krisztián, Solymos Tamás, Szabó 222 Rita, Szabó 313 Gábor, Szepesvári Dávid, Szikszay László, Tamási János, Tóth 256 Áron, Varga 151 Vince, Vincze Dávid, Virth Nobert.
5 pontot kapott:	5 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai