 |
A K. 816. feladat (2024. május) |
K. 816. Adott az \(\displaystyle {E(x)=\dfrac{8x-12}{4x^2-12x+9}-\dfrac{5x}{2x^2+3x}-\dfrac{20x}{9-4x^2}}\) kifejezés. Határozzuk meg azon \(\displaystyle x\) egész számokat, amelyekre \(\displaystyle E(x)\) természetes szám.
Matlap (Kolozsvár)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A kifejezést először egyszerűbb alakra hozzuk:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{4(2x-3)}{(2x-3)^2}-\frac{5x}{x(2x+3)}+\frac{20x}{(2x-3)(2x+3)}}.\) |
Az (1) összefüggésből látható, hogy \(\displaystyle E(x)\) az egész számok közül csak \(\displaystyle x=0\) esetén nem értelmezhető, hiszen \(\displaystyle 2x-3\) és \(\displaystyle 2x+3\) értéke egyetlen egész számra sem nulla. Közös nevezőre hozással kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{4(2x+3)-5(2x-3)+20x}{(2x-3)(2x+3}},\)
a számlálóban kijelölt műveleteket elvégezve, rendezés után
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{9(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{9}{2x-3}}.\) |
Az \(\displaystyle E(x)\) természetes szám, ha \(\displaystyle 2x-3\) pozitív osztója a \(\displaystyle 9\)-nek. Ez azt jelenti, hogy
\(\displaystyle 2x-3\in \{1,3,9\},\)
azaz \(\displaystyle E(x)\) az \(\displaystyle x=2, x=3, x=6\) egész számok esetén lesz természetes szám, mégpedig
\(\displaystyle E(2)=9;\quad E(3)=3;\quad E(6)=1.\)
Statisztika:
64 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Araguas Mátyás, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél. 4 pontot kapott: Béres Tamás, Farkas Simon, Gaál Gergely, Kovács 007 Benedek, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Papp Emese Petra, Sipos Dániel Sándor, Timár Vince . 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 22 dolgozat.
A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai