 |
A P. 4318. feladat (2011. február) |
P. 4318. Számítógépes (numerikus) módszerrel határozzuk meg, hogy mennyivel hamarabb ér le a pisai ferde torony 50 m magasan lévő teraszáról egy 10 cm átmérőjű vasgolyó, mint egy ugyanekkora átmérőjű fagolyó!
Közli: Horváth Norbert, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A golyók mozgásegyenlete (a sebességben négyzetes közegellenállási erőt feltételezve):
\(\displaystyle m\frac{\Delta v}{\Delta t}=mg-\frac{1}{2}kA\varrho_{\text{levegő}} v^2.\)
A tömeget és a homlokfelületet a golyók sugarával és sűrűséggel kifejezve a sebesség időbeli változását leíró egyenlethez jutunk:
\(\displaystyle \frac{\Delta v}{\Delta t}=g-\left( \frac{3}{8} \frac{\varrho_{\text{levegő}}}{\varrho_{\text{golyó}}} \frac{k}{R}\right)v^2,\)
ahol \(\displaystyle k=0,\!43\). A mozgást kicsiny időtartamokra felosztva az egyes mozgásszakaszokon a sebesség megváltozása és a megtett út kiszámítható. Ez a feladat egy rövid számítógépes ciklussal könnyen elvégezhető. A \(\displaystyle \varrho_{\text{levegő}}=1,\!2 ~\textrm{kg/m}^3\), \(\displaystyle \varrho_{\text{fa}}=500 ~\textrm{kg/m}^3\), \(\displaystyle \varrho_{\text{vas}}=7800 ~\textrm{kg/m}^3\), \(\displaystyle g=9,\!81\) \(\displaystyle \textrm{m/s}^2\) és \(\displaystyle R=0,\!1\) m adatok felhasználásával a fa- és a vasgolyók esési idejére \(\displaystyle 3,\!306\) s, illetve \(\displaystyle 3,\!200\) s értéket kapunk (a vákuumban eső golyók esési ideje \(\displaystyle 3,\!193\) s lenne). A fagolyó tehát kb. egy tizedmásodperccel később ér le, mint a vasgolyó.
Statisztika:
44 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Barta Szilveszter Marcell, Batki Bálint, Béres Bertold, Bolgár Dániel, Czipó Bence, Dálya Gergely, Fülep Andrea , Herczeg Ferenc, Jenei Márk, Juhász Péter, Koncz Gabriella, Kovács 444 Áron, Nagy 111 Miklós, Nagy Lajos, Pataki Bálint Ármin, Sárvári Péter, Simon Sebestyén, Szabó 928 Attila, Szélig Áron, Szemes Gábor Bence, Szentgyörgyi 994 Rita, Várnai Péter, Vécsey Máté, Zsámboki Richárd. 4 pontot kapott: Alcer Dávid, Csuka Róbert, Horicsányi Attila, Huszka Attila, Nagy Dániel Bálint, Varga 515 Balázs, Vuchetich Bálint, Wirnhardt Bálint. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2011. februári fizika feladatai