A P. 4803. feladat (2016. január)

P. 4803. Egy proton és egy elektron olyan homogén mágneses mezőben mozog, amelyben a mágneses indukcióvektor nagysága 1 T. Mindkét részecskének ugyanakkora, 10 MeV mozgási energiája van, sebességük merőleges a mágneses indukcióvektorra. Határozzuk meg a keringésük periódusidejét!

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A megadott 10 MeV-es mozgási energia sokkal kisebb, mint a proton 938 MeV-es nyugalmi energiája. Emiatt használhatjuk a klasszikus fizika mozgásegyenletét:

\(\displaystyle qvB=\frac{mv^2}{R},\)

ahonnan

\(\displaystyle \frac{v}{R}=\frac{2\pi}{T}= \frac{qB}{m},\)

tehát a keringési idő: \(\displaystyle T\approx 6{,}5\cdot 10^{-8}~{\rm s}.\) (Ez az eredmény – mindaddig, amíg a nemrelativisztikus képlet érvényes – független a részecske energiájától.)

Az elektron nyugalmi energiája \(\displaystyle mc^2= 0{,}51 ~{\rm MeV}\ll 10~{\rm MeV},\) emiatt a relativisztikus mozgásegyenletet kell alkalmaznunk:

\(\displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta t}=p\omega=\frac{pv}{R}=qvB,\qquad \text{azaz}\qquad R=\frac{p}{qB},\)

ahol \(\displaystyle p\) az elektron (relativisztikus) impulzusa, \(\displaystyle R\) pedig a körpálya sugara. Másrészt fennáll, hogy

\(\displaystyle E_\text{összes}=mc^2+E_\text{mozgási}=10{,}51~{\rm MeV}=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}, \)

vagyis

\(\displaystyle pc=\sqrt{E_\text{összes}^2-(mc^2)^2}=10{,}50~\rm MeV. \)

A pályasugár:

\(\displaystyle R=\frac{p}{qB}=\frac{p}{qBc}= \frac{1{,}05\cdot 10^7~q\cdot (1~{\rm V}}{qBc}=\frac{1{,}05\cdot 10^7}{3\cdot 10^8} \,{\rm m}=0{,}035\,{\rm m}.\)

Mivel az elektron sebessége majdnem pontosan a fénysebesség, a kör kerületének megtételéhez szükséges idő:

\(\displaystyle T=\frac{2\pi R}{c}=7{,}3\cdot 10^{-10}~\rm s.\)

Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Bartók Imre, Bekes Nándor, Blum Balázs, Büki Máté, Csire Roland, Csorba Benjámin, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Forrai Botond, Gémes Antal, Jakus Balázs István, Jakus Péter János, Kasza Bence, Kovács Péter Tamás, Körmöczi Dávid, Krasznai Anna, Makovsky Mihály, Németh 777 Róbert, Nenezic Patrick Uros, Páhoki Tamás, Sal Kristóf, Szalai Istvan, Szántó Benedek, Szentivánszki Soma , Tibay Álmos, Tófalusi Ádám, Tomcsányi Gergely, Tóth Adrián, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András.
4 pontot kapott:	Fekete Balázs Attila, Németh Flóra Boróka.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. januári fizika feladatai