A P. 4822. feladat (2016. március)

P. 4822. Mekkora szöget kell bezárnia két erőnek, hogy az eredőjük nagysága akkora legyen, mint a két erő nagyságának

\(\displaystyle a)\) négyzetes közepe,

\(\displaystyle b)\) harmonikus közepe?

Mi a feltétele annak, hogy ezek a szögek minimálisak legyenek, és mekkorák a minimális értékek?

Közli: Zsigri Ferenc (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha az erők nagysága \(\displaystyle F_1\) és \(\displaystyle F_2=\lambda F_1\), szögük \(\displaystyle \alpha\), akkor a megadott feltétel:

\(\displaystyle F_1^2+ F_2^2+2F_1F_2\cos\alpha=\frac{F_1^2+ F_2^2}{2},\)

vagyis

\(\displaystyle \cos\alpha=-\frac{F_1^2+ F_2^2}{4F_1 F_2 }=-\frac{1}{2}\left(\frac{\lambda}{2}+\frac{1}{2\lambda}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{(1-\lambda)^2}{4\lambda}\le-\frac{1}{2} .\)

Ezek szerint a két vektor szöge legalább \(\displaystyle 120^\circ\), és az egyenlőség \(\displaystyle \lambda=1\), vagyis \(\displaystyle F_1=F_2\) esetén állhat csak fenn. Másrészt \(\displaystyle \cos\alpha\ge -1\), ami a két erő nagyságának arányára a

\(\displaystyle 2-\sqrt{3}\le \frac{F_1}{F_2}\le 2+\sqrt{3}\)

megszorítást adja.

\(\displaystyle b)\) A másik feltétel teljesülése esetén

\(\displaystyle F_1^2+ F_2^2+2F_1F_2\cos\alpha=\left(\frac{2F_1 F_2 }{F_1+F_2}\right)^2,\)

vagyis

\(\displaystyle 1+\lambda^2+2\lambda\cos\alpha= \left({\frac{2\lambda}{1+\lambda}}\right)^2\le \lambda.\)

(Az utolsó lépésben azt használtuk ki, hogy a harmonikus közép kisebb vagy egyenlő a mértani középnél.) Innen

\(\displaystyle 1-2\cos\alpha\ge \frac{1+\lambda^2}{\lambda}\ge 2,\)

vagyis \(\displaystyle \cos\alpha\le -\frac12,\) tehát \(\displaystyle \alpha\ge 120^\circ\), és az egyenlőség csak \(\displaystyle \lambda=1\) (\(\displaystyle F_1=F_2\)) esetén állhat fenn.

Most is teljesül \(\displaystyle \cos\alpha\ge -1\), vagyis

\(\displaystyle (1-\lambda)^2\le\left({\frac{2\lambda}{1+\lambda}}\right)^2,\)

vagyis

\(\displaystyle -\frac{2\lambda}{1+\lambda} \le 1-\lambda\le \frac{2\lambda}{1+\lambda},\)

tehát

\(\displaystyle -2\lambda \le 1-\lambda^2 \le 2\lambda.\)

Ebből végül a két erő nagyságának arányára a

\(\displaystyle \sqrt{2}-1\le \frac{F_1}{F_2}\le \sqrt{2}+1\)

feltétel következik.

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balogh Menyhért, Csorba Benjámin, Di Giovanni András, Forrai Botond, Kluèka Vivien, Kovács 526 Tamás, Molnár Mátyás, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Sal Kristóf, Szemerédi Levente, Wiandt Péter.
3 pontot kapott:	Asztalos Bogdán, Bekes Nándor, Blum Balázs, Bukor Benedek, Édes Lili, Elek Péter, Farkas Domonkos, Fehér 169 Szilveszter, Gémes Antal, Kormányos Hanna Rebeka, Kuchár Zsolt, Mány Bence, Marozsák Tóbiás , Merkl Gergely, Pszota Máté, Radnai Bálint, Simon Dániel Gábor, Tomcsányi Gergely, Zöllner András.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi fizika feladatai