A P. 4824. feladat (2016. március)

P. 4824. A tó vize a téli hidegben egyre hidegebb lesz. Végül befagy, és a jég is egyre vastagodik. Feltéve, hogy a levegő \(\displaystyle -20~{}^\circ\)C-os, ábrázoljuk vázlatosan, hogyan alakul a hőmérséklet egy adott pillanatban a jég felszínétől kezdve lefelé, egészen a tófenékig.

Közli: Hilbert Margit, Szeged

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A jég felső felülete – ha még szél is van – a külső levegő hőmérsékletével, vagyis \(\displaystyle -20\,^\circ\)C-kal egyezik meg. (Szélcsendes időben a jég a levegő egy vékony rétegét valamennyire ,,megmelegíti'', állítólag ezért szeretnek bizonyos vízimadarak nagy hidegben a tó jegére szállni.)

A jégréteg alsó felülete (mivel a folyékony vízzel érintkezik) \(\displaystyle 0\,^\circ\)C-os. A jégben a hőmérséklet – jó közelítésben – a mélységgel arányosan változik, hiszen az egyensúlyi állapotnak tekinthető hőmérsékleteloszlásban a hőáram – ami a ,,hőmérsékletgradienssel'' (egységnyi távolságra eső hőmérsékletváltozással) arányos – helyfüggetlen.

A jég alsó felületétől lefelé haladva a hőmérséklet a tó fenekéig lassan emelkedik. Ha a tófenék \(\displaystyle +4\,^\circ\)C -nál hidegebb, akkor a víz sűrűsége a mélységgel egyre nő, nem alakul ki folyadékáramlás (konvekció), csak lassú hővezetés. A hőmérséklet itt is a mélységgel arányosan (lineárisan) változik, ekkor teljesül az a feltétel, hogy bármelyik vízrétegbe alulról ugyanannyi hő érkezik, mint amennyi felfelé eltávozik. A jég vastagodásának ütemét az a feltétel szabja meg, hogy a vízből egységnyi idő alatt érkező hő és a fagyás közben keletkező hő összege egyenlő legyen a jégen keresztül eltávozó hővel.

Ha a tó fenekén a talaj hőmérséklete \(\displaystyle 4\,^\circ\)C-nál magasabb, akkor a 4 fokos vízréteg és a tófenék között konvektív áramlás alakul ki (hiszen a melegebb, ritkább víz nem maradhat alul). Ez az áramlás történhet térben elkülönülő fel- és leszálló cellákban (hasonlóan a légköri és a tengeri áramlásokhoz, vagy akár a lakóházak keringető szivattyú nélküli, ún. gravitációs fűtőrendszerekhez), vagy turbulens, erősen örvénylő formában. Egyik esetben sincs értelme egyértelmű hőmérséklet-mélység kapcsolatról beszélni, legfeljebb időben és térben átlagolt hőmérsékleteloszlásról. Az áramlással kísért hőátadás sokkal gyorsabb, mint a hővezetés, és viszonylag hamar (a külső hőmérséklettől, a tó mélységétől és a talaj kezdeti hőmérsékletétől függő idő alatt) a víz hőmérséklete még a tó fenekén is \(\displaystyle 4\,^\circ\)C-ra, vagy esetleg az alá csökken.

A hőmérsékleteloszlás – ebben a lelassult változási szakaszban – az alábbi ábrán láthatóan alakul:

A víz hőmérsékletgradiensét első közelítésben állandónak tekinthetjük. (Ha még azt is figyelembe vesszük, hogy a víz hőmérséklete az idő múltával lassan ugyan, de csökken, akkor a víz hőmérsékletgradiensét lefelé haladva kisebbnek kellene rajzoljuk, mint a felsőbb vízrétegekben. Ezt a kis eltérést az ábrán nem próbáltuk érzékeltetni.)

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bánki Bence, Csenger Géza, Csuha Boglárka, Fehér 169 Szilveszter, Horváth 914 Bálint, Krasznai Anna, Kuchár Zsolt, Makovsky Mihály, Nagy Nándor, Németh Flóra Boróka, Nyerges Dóra, Pszota Máté, Radnai Bálint, Tanner Martin, Weisz Pál, Wesniczky Albert.
3 pontot kapott:	Kopitkó Tünde, Köpenczei Csenge, Pintér 345 Balázs, Sallai Krisztina, Simon Dániel Gábor.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi fizika feladatai