A P. 4834. feladat (2016. április)

P. 4834. Egy \(\displaystyle a<b<c\) élekkel rendelkező, homogén tömegeloszlású téglatest vízszintes talajon a legkisebb oldallapján áll. A testet a helyben maradó \(\displaystyle b\) oldaléle körül elbillentve a lehető legkevesebb munkával felborítjuk. Ez a munka 25-ször kisebb, mint a felboruló test legnagyobb mozgási energiája. Mekkora a legnagyobb és a legkisebb oldalél hosszának aránya?

Közli: Légrádi Imre, Sopron

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A billentés során a test tömegközéppontjának emelkedése a holtpont eléréséig

\(\displaystyle \Delta h_1=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{2}-\frac{c}{2},\)

az általunk végzett munka ezzel arányos (ennek \(\displaystyle mg\)-szerese).

Az elbillenő test tömegközéppontja a talajhoz csapódásig

\(\displaystyle \Delta h_2=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{2}-\frac{a}{2}\)

távolsággal kerül mélyebbre; a test mozgási energiája ezzel a távolsággal arányos (ennek \(\displaystyle mg\)-szerese).

A megadott feltétel szerint \(\displaystyle \Delta h_2=25\cdot \Delta h_1\), vagyis a \(\displaystyle c/a=x\) mennyiségre fennáll, hogy

\(\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}-1} {\sqrt{1+x^2}-x}=25.\)

Ebből algebrai átalakítások után egy másodfokú egyenletet kapunk, amelynek fizikai jelentéssel bíró (pozitív) gyöke: \(\displaystyle x_1=3{,}97\approx 4{,}0.\)

A téglatest legnagyobb és legkisebb oldalélének aránya tehát kb. \(\displaystyle 4:1\).

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. áprilisi fizika feladatai