 |
A P. 4856. feladat (2016. szeptember) |
P. 4856. Függőlegesen felhajítunk egy súlyos testet \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel. Mekkora sebességgel kell feldobnunk \(\displaystyle \Delta t\) idővel később egy másik testet, hogy a két test találkozzék, miközben az első test
\(\displaystyle a)\) még emelkedik;
\(\displaystyle b)\) a legmagasabban van;
\(\displaystyle c)\) már alászálló félben van?
\(\displaystyle d)\) Mekkora legyen a második test kezdősebessége, hogy a lefelé eső első test a második testet emelkedő, nyugvó, illetve lefelé eső helyzetben találja?
Adatok: \(\displaystyle v_0=5{,}0\) m/s, \(\displaystyle \Delta t=0{,}3\) s. (A közegellenállás elhanyagolható.)
Zemplén Győző fizikaverseny, Nagykanizsa
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a második test kezdősebességét \(\displaystyle u_0\)-lal és a találkozásig eltelt időt (az első test indításától számítva) \(\displaystyle t\)-vel! Felírhatjuk, hogy
\(\displaystyle v_0t-\frac{g}{2}t^2=u_0(t-\Delta t)-\frac{g}{2}(t-\Delta t)^2,\)
vagyis
\(\displaystyle t=\frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t.\)
Válaszoljunk először a \(\displaystyle b)\) kérdésre! Ha a fenti \(\displaystyle t\) idő éppen \(\displaystyle v_0/g\)-vel egyenlő, akkor az első test legmagasabb helyzeténél találkoznak.
\(\displaystyle \frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t=\frac{v_0}{g},\)
innen
\(\displaystyle u_0=\frac{v_0^2+\tfrac12(g\Delta t)^2-v_0g\Delta t}{v_0-g\Delta t}=7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}. \)
\(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle u_0>7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}\), akkor a találkozás pillanatában az első test még emelkedik.
\(\displaystyle c)\) Amennyiben \(\displaystyle u_0<7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}\), úgy a második test már lefelé mozog a találkozáskor, feltéve, hogy az egyáltalán bekövetkezik. Ehhez teljesülnie kell a \(\displaystyle t>0\) feltételnek is, vagyis annak, hogy
\(\displaystyle u_0>v_0-g\Delta t=2{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
\(\displaystyle d)\) Határesetben, amikor a második test pillanatnyi nyugalmi helyzetében történik a találkozás:
\(\displaystyle t=\Delta t+\frac{u_0}{g},\)
vagyis
\(\displaystyle \frac{\tfrac12g\Delta t+u_0}{u_0-v_0+g\Delta t}\Delta t=\Delta t+\frac{u_0}{g}.\)
Ebből az egyenletből a második test kezdősebességére \(\displaystyle u_0=4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}\) adódik.
Ha
\(\displaystyle 2{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}<u_0<4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}, \)
akkor a második test már lefelé mozog a találkozáskor, ha viszont
\(\displaystyle 4{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}<u_0<7{,}1~\frac{\rm m}{\rm s}, \)
akkor még emelkedik.
Statisztika:
125 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Barabás Péter, Facskó Benedek, Fehér 169 Szilveszter, Pécsi 117 Ildikó, Weisz Máté. 3 pontot kapott: 63 versenyző. 2 pontot kapott: 42 versenyző. 1 pontot kapott: 14 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. szeptemberi fizika feladatai