 |
A P. 4857. feladat (2016. szeptember) |
P. 4857. Egyik végén csuklósan felfüggesztett homogén rudat vízszintesen kitérítünk, majd elengedünk.
\(\displaystyle a)\) Hamarabb, vagy később lendül át a függőleges helyzeten a rúd, mint egy ugyanolyan hosszú fonálinga?
\(\displaystyle b)\) A lengő rúd mely helyzetében lesz a rúd minden mozgó pontjának gyorsulása vízszintes irányú?
Minden súrlódás, közegellenállás elhanyagolható.
Sopron–Pozsony fizikaverseny
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Egy \(\displaystyle L\) hosszúságú rúd szögsebessége \(\displaystyle \varphi\) szögelfordulás után
\(\displaystyle \omega_\text{rúd}=\sqrt{\frac{3g}{L}\sin\varphi},\)
míg egy ugyanekkora hosszúságú fonálingáé:
\(\displaystyle \omega_\text{fonál}=\sqrt{\frac{2g}{L}\sin\varphi}.\)
(Ezeket az összefüggéseket az energiamegmaradás tételének felírása után kaphatjuk meg.)
Látható, hogy (az elindulást leszámítva) minden helyzetben
\(\displaystyle \omega_\text{rúd}>\omega_\text{fonál},\)
tehát a rúdinga hamarabb kerül függőleges helyzetbe, mint a fonálinga. (Nem volt ugyan kérdés, de kiszámíthatjuk, hogy az időtartamok, vagyis a lengésidők aránya \(\displaystyle \sqrt{2/3}\).)
\(\displaystyle b)\) A rúd szöggyorsulását \(\displaystyle \varphi\) szögelforduláshoz tartozó helyzetben a tömegközéppontra felírt forgómozgás egyenletéből, illetve a tömegközéppont érintő irányú mozgásegyenletéből kaphatjuk meg. Ha a csuklónál ható erő rúdra merőleges komponense \(\displaystyle F\), akkor
\(\displaystyle F\cdot \frac{L}{2}=\frac{1}{12}mL^2\cdot \beta,\)
illetve
\(\displaystyle mg\cos\varphi-F=m\frac{L}{2}\cdot \beta.\)
Ebből kifejezhető a szöggyorsulás:
\(\displaystyle \beta=\frac{3g}{2L}\cos\varphi.\)
A csuklótól \(\displaystyle x\) távolságban lévő pont függőleges gyorsulása akkor lesz nulla, ha
\(\displaystyle x\beta\cos\varphi-x\omega^2\sin\varphi=0.\)
Behelyettesítve \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \omega\) kiszámított kifejezését azt kapjuk, hogy a rúd valamennyi pontjának vízszintes irányú a gyorsulása, ha
\(\displaystyle \rm{tg}^2\varphi=\frac{1}{2},\qquad \text{vagyis}\qquad \varphi\approx 35{,}3^\circ.\)
Statisztika:
96 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Barabás Péter, Bartók Imre, Berke Martin, Bukor Benedek, Csenger Géza, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Iván Balázs, Jakus Balázs István, Kovács 124 Marcell, Krasznai Anna, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Merkl Gergely, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Náray Balázs, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Póta Balázs, Sal Dávid, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zsombó István. 4 pontot kapott: Di Giovanni András, Németh 777 Róbert, Németh Csaba Tibor, Pszota Máté, Turcsányi Ádám. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 27 versenyző.
A KöMaL 2016. szeptemberi fizika feladatai