 |
A P. 4869. feladat (2016. október) |
P. 4869. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú (húzó-nyomó) rugót \(\displaystyle F_1\) erővel \(\displaystyle d<\ell/2\) hosszúságúra nyomunk össze. Ezután a rugót félbevágjuk, és a két egyforma darabot egymás mellett, egyszerre (,,párhuzamosan'') ismét \(\displaystyle d\) hosszúságúra nyomjuk össze. Mekkora \(\displaystyle F_2\) erő kell ehhez?
Hány egyforma darabra kell vágnunk egy \(\displaystyle \ell=10\,d\) hosszú rugót, hogy az az \(\displaystyle F_n\) erő, amivel a darabokat párhuzamosan \(\displaystyle d\) hosszúságúra összenyomhatjuk, a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez az erő?
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a rugóállandó \(\displaystyle D\), akkor fennáll
\(\displaystyle F_1=D(\ell-d).\)
A félbevágott rugó rugóállandója \(\displaystyle 2D\), hiszen ugyanakkora erő hatására csak feleakkorát változik meg a hossza, mint az eredeti rugó tette volna. Két ilyen, egymással ,,párhuzamosan kapcsolt'' rugó \(\displaystyle d\) hosszra történő összenyomásához
\(\displaystyle F_2=2\cdot (2D)\cdot \left(\frac{\ell}{2}-d\right)=2\frac{ \ell-2d }{\ell-d}F_1\)
erőre van szükség.
Hasonló módon kapjuk, hogy az eredetileg \(\displaystyle \ell=10d\) hosszúságú rugó \(\displaystyle n\) részre vágása, majd a részek párhuzamos kapcsolása után a kérdéses erő
\(\displaystyle F_n=n\cdot (nD)\cdot \left(\frac{\ell}{n}-d\right)=D\cdot (\ell n-dn^2).\)
Az utóbbi zárójelben álló kifejezés teljes négyzetté alakítható:
\(\displaystyle \ell n-dn^2=\frac{\ell^2}{4d}-d\left(n-\frac{\ell}{2d}\right)^2\le \frac{\ell^2}{4d}.\)
Az egyenlőség \(\displaystyle n=\ell/(2d)=5\) esetén áll fenn, és a szélsőértékhez tartozó erő:
\(\displaystyle F_5=25\,dD=\frac{25}{9}\,F_1.\)
Statisztika:
75 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Bege Áron, Bekes Nándor, Bukor Benedek, Csenger Géza, Csóka987 Benedek, Csuha Boglárka, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Kondákor Márk, Kormányos Hanna Rebeka, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Mocskonyi Mirkó, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Riskutia Balázs, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Török Péter, Váczy János, Varga-Umbrich Eszter, Zsombó István. 4 pontot kapott: 19 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző.
A KöMaL 2016. októberi fizika feladatai