 |
A P. 4870. feladat (2016. október) |
P. 4870. A világűr egy távoli részén, egymástól távol lévő, azonos méretű két ólomgolyó között ugyanakkora elektrosztatikus vonzóerő hat, mint amekkora a közöttük fellépő gravitációs vonzóerő. A potenciálkülönbség a két golyó között 5 kV. Mekkorák a golyók, ha az össztöltésük zérus?
Közli: Vass Miklós, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a golyók sugarát \(\displaystyle R\)-rel, távolságukat \(\displaystyle \ell\)-lel (\(\displaystyle \ell\gg R\)), elektromos töltésüket pedig \(\displaystyle \pm Q\)-val. Az egyes golyók elektrosztatikus potenciálja (a ,,végtelenhez'' képest) \(\displaystyle \pm kQ/R\), egymáshoz viszonyított potenciálkülönbségük tehát
\(\displaystyle U=2k\frac{Q}{R},\)
a közöttük ható elektromos vonzóerő pedig
\(\displaystyle F_1=k\frac{Q^2}{\ell^2}=\frac{U^2}{4k}\,\frac{R^2}{\ell^2}.\)
Az ólomgolyók tömege \(\displaystyle m=\frac{4\pi R^3}{3}\varrho\) (\(\displaystyle \varrho=11\,340~\rm kg/m^3\) az ólom sűrűsége), a közöttük ható gravitációs vonzóerő
\(\displaystyle F_2=\gamma \frac{m^2}{\ell^2}=\frac{16\pi^2}{9}\gamma \frac{\varrho^2 R^6}{\ell^2}.\)
A kétféle vonzóerő nagysága akkor egyezik meg, ha
\(\displaystyle \frac{16\pi^2}{9}\gamma \frac{\varrho^2 R^6}{\ell^2}=\frac{U^2}{4k}\,\frac{R^2}{\ell^2},\)
vagyis ha a golyók sugara
\(\displaystyle R=\sqrt{\frac{3U}{8\pi\varrho\sqrt{k\gamma}}}=26~\rm cm. \)
Statisztika:
47 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Balaskó Dominik, Bekes Nándor, Csenger Géza, Csóka987 Benedek, Di Giovanni András, Édes Lili, Eper Miklós, Faisal Fahad AlSallom, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Iván Balázs, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Nenezic Patrick Uros, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Paulovics Péter, Pszota Máté, Szabó 199 Márton, Tófalusi Ádám, Tóth 111 Máté , Zöllner András. 3 pontot kapott: Hajnal Dániel Konrád, Kovács 124 Marcell, Morvai Orsolya, Takács Attila. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2016. októberi fizika feladatai