A P. 4893. feladat (2016. december)

P. 4893. \(\displaystyle M\) tömegű nyugvó testekkel különböző tömegű és különböző sebességű testek ütköznek. Az ütközések mindegyik esetben centrálisak, egyenesek és tökéletesen rugalmasak, továbbá mindegyik test sebessége sokkal kisebb, mint a fénysebesség.

\(\displaystyle a)\) Adjuk meg a kezdetben álló testnek átadott \(\displaystyle W\) energiát a nekiütköző másik test \(\displaystyle E\) energiájának és \(\displaystyle I\) impulzusának (lendületének) függvényében!

\(\displaystyle b)\) Ábrázoljuk vázlatosan a \(\displaystyle W(E,I)\) függvényt rögzített \(\displaystyle I_0\) impulzus, illetve rögzített \(\displaystyle E_0\) energia esetén!

\(\displaystyle c)\) Lehetséges-e, hogy egy kisebb energiájú test több energiát ad át a kezdetben álló másik testnek, mint egy nagyobb energiájú?

Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a beeső test tömege \(\displaystyle m\), sebessége pedig \(\displaystyle v\), akkor a meglökött (\(\displaystyle M\) tömegű) test ütközés utáni sebessége (az energia- és az impulzusmegmaradás törvénye szerint)

\(\displaystyle V= \frac{2mM}{m+M}v,\)

mozgási energiája pedig

\(\displaystyle W=\frac{1}{2}M V^2=\frac{2m^2M}{(m+M)^2}v^2.\)

A \(\displaystyle v\) és \(\displaystyle m\) adatok kifejezhetők az ütköző részecske energiájával és impulzusával:

\(\displaystyle E=\frac{1}{2} mv^2, \qquad I=mv\)

alapján

\(\displaystyle m=\frac{I^2}{2E}, \qquad v=\frac{2E}{I},\)

ahonnan az átadott energia:

\(\displaystyle W(E,I)=8M\frac{I^2E^2}{(I^2+2ME)^2}.\)

Az energiaátadás ,,hatásfoka'':

\(\displaystyle \eta=\frac{W}{E}=8M\frac{I^2E}{(I^2+2ME)^2},\)

ami

\(\displaystyle \eta=\frac{mM}{\left(\frac{m+M}{2}\right)^2}\)

alakban is felírható. Nyilván \(\displaystyle \eta\le 1\), és az egyenlőség csak \(\displaystyle m=M\), vagyis \(\displaystyle I^2=2ME\) esetén teljesül.

\(\displaystyle b)\) Rögzített \(\displaystyle I_0\) impulzus esetén az átadott energia \(\displaystyle E\) függvényében az 1. ábrán látható, monoton növekvő görbével jellemezhető. Érdekes, hogy ha \(\displaystyle E\gg {I_0^2}/M\) (vagyis az ütköző test tömege nagyon kicsi, de a sebessége nagyon nagy), akkor az átadott energia véges nagyságú: \(\displaystyle W\approx 2I_0^2/M\).

1. ábra

Rögzített \(\displaystyle E_0\) ,,bejövő energia'' esetén az átadott energia az \(\displaystyle I\) impulzus függvényében a 2. ábrán látható, maximummal rendelkező függvény. A maximum helye annak felel meg, hogy az ütköző test tömege \(\displaystyle m=M\), ekkor a teljes \(\displaystyle E=E_0\) energiáját átadja a kezdetben álló másik testnek.

2. ábra

\(\displaystyle c)\) A 3. ábrán az átadott energiát \(\displaystyle I\) függvényében ábrázoltuk két különböző bejövő energia mellett (\(\displaystyle E_1<E_2\)).

3. ábra

Látható, hogy egy kisebb energiájú test képes több energiát átadni egy adott tömegű álló testnek, mint egy nagyobb energiájú, amennyiben a bejövő részecskék impulzusa (avagy a tömege) lényegesen különböző.

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balaskó Dominik, Bartók Imre, Bekes Nándor, Csenger Géza, Csire Roland, Di Giovanni András, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Hajnal Dániel Konrád, Iván Balázs, Kondákor Márk, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter.
5 pontot kapott:	Bukor Benedek, Faisal Fahad AlSallom, Jakus Balázs István, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Osváth Botond.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi fizika feladatai