A P. 4896. feladat (2017. január)

P. 4896. Egy kicsi sportrepülőgép ,,szembeszélben'' 3 óra alatt tud \(\displaystyle A\)-ból pontosan észak felé \(\displaystyle B\)-be repülni, visszafelé ,,hátszélben'' 2 óra alatt ér \(\displaystyle B\)-ből \(\displaystyle A\)-ba. Mennyi idő alatt tenné meg az utat oda-vissza, ha állandóan északkeleti szél fújna? (A szél sebessége mindvégig ugyanakkorának tekinthető.)

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a szélsebesség vektorát \(\displaystyle \boldsymbol c\)-vel, repülő sebességét a levegőhöz képest \(\displaystyle \boldsymbol v\)-vel, az elmozdulásvektort pedig \(\displaystyle \boldsymbol d\)-vel. A szél iránya zárjon be \(\displaystyle \alpha\) szöget az észak-déli iránnyal! (Szembeszélnél \(\displaystyle \alpha=180^\circ\), hátszélnél \(\displaystyle \alpha=0\), északkeleti szélben pedig odafelé \(\displaystyle 135^\circ\), visszafelé \(\displaystyle 45^\circ\).

A repülőút \(\displaystyle t\) idejét az ábrán látható vektorháromszögből kaphatjuk meg, ha alkalmazzuk a koszinusztételt.

\(\displaystyle v^2t^2=c^2t^2+d^2-2dct\cos\alpha,\)

ahonnan a számunkra értelmes megoldás:

\(\displaystyle t=d\frac{\sqrt{v^2-c^2\sin\alpha}-c\cos\alpha}{v^2-c^2}.\)

A szembeszélnek és a hátszélnek megfelelő adatokból

\(\displaystyle 3~\text{óra}=\frac{d}{v-c},\)

\(\displaystyle 2~\text{óra}=\frac{d}{v+c},\)

amiből \(\displaystyle v=5\,c\) és \(\displaystyle d=v\cdot 2{,}4~\)óra következik. (Látható, hogy szélcsendes időben a repülőgép 2,4 óra alatt érne az egyik helytől a másikig.

Más szélirány esetén a repülési idő (órában kifejezve):

\(\displaystyle t=\frac{\sqrt{25-\sin^2\alpha}-\cos\alpha}{2},\)

innen az \(\displaystyle 135^\circ\)-hoz és \(\displaystyle 45^\circ\)-hoz tartozó repülési idők: 2,83 óra és 2,12 óra.

Északkeleti szélben tehát összesen 4,95 óra hosszú a repülési idő, ez csak nagyon kicsit tér el az északi szélben történő oda-vissza repülés teljes idejétől.

Statisztika:

83 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ardai István Tamás, Balaskó Dominik, Bartók Imre, Boros Máté, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csuha Boglárka, Édes Lili, Faisal Fahad AlSallom, Fajszi Bulcsú, Fazakas Réka, Fehér 169 Szilveszter, Gál Péter Levente, Guba Zoltán, Háder Márk István, Illés Gergely, Illyés András, Jánosik Áron, Kavas Katalin, Keltai Dóra, Klučka Vivien, Kovács 526 Tamás, Krasznai Anna, Kürti Zoltán, Mamuzsics Gergő Bence, Merkl Gergely, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Murányi Albert, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Páhoki Tamás, Papp 121 Krisztina, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Soós Benjámin, Tibay Álmos, Tófalusi Ádám, Tóth Bence, Veres Károly, Weisz Máté.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	27 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. januári fizika feladatai