 |
A P. 4915. feladat (2017. február) |
P. 4915. A titánfaló kicsi zöld emberkék egyik kutató-űrhajója rátalált egy gömb alakú kisbolygóra, amelynek nincs légköre, és nem forog. A kutatók a kisbolygót az egyik átmérője mentén teljesen keresztülfúrták, és megállapították, hogy az egész égitestet homogén tömegeloszlású titán alkotja.
Az alagút elkészültét tűzijátékkal ünnepelték meg. Az aknába – pontosan függőlegesen lefelé – egy ágyúval lövedéket lőttek, ami keresztülrepült a kisbolygón, majd az alagút másik végén kilépve éppen a kisbolygó sugarával megegyező távolságra emelkedett fel a felszín fölé, és ott látványosan felrobbant. A robbanószerkezetet a Kozmikus Baleseteket Kivizsgáló Intézet (KOBALKIVI) szakértői úgy állították be, hogy a robbanás a lövés pillanata után \(\displaystyle T\) idővel következzék be.
Adjuk meg (formulával és numerikusan is) a szakértők által kiszámított \(\displaystyle T\) értékét!
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a kisbolygó sugarát \(\displaystyle R\)-rel, tömegét pedig \(\displaystyle M\)-mel; ezek nagyságát nem ismerjük. Tudjuk viszont, hogy a titán sűrűsége
\(\displaystyle \varrho=\frac{M}{\tfrac43\pi R^3}=4510~\rm kg/m^3.\)
A lövedék mozgása két különböző jellegű mozgásra bontható. A kisbolygó belsejében minden helyzetben csak akkora vonzóerő hat rá, amekkorát a pillanatnyi helyzetének megfelelő kisebb titángömb fejt ki rá. Az alagutat elhagyva a lövedék mozgását a kisbolygó egészének gravitációs vonzóereje irányítja. A lövedék mozgásának teljes \(\displaystyle T\) ideje az alagútban töltött \(\displaystyle T_1\) idő és a szabadban történő mozgás \(\displaystyle T_2\) idejének összege.
A kisbolygó belsejében (az alagútban) a kisbolygó középpontjától \(\displaystyle x\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű lövedékre
\(\displaystyle F(x)=-\gamma \frac{mM }{x^2}\,\frac{x^3}{R^3}=-D\cdot x\)
nagyságú erő hat, éppen akkora, mintha egy
\(\displaystyle D=\gamma \frac{Mm}{R^3}\)
rugóállandójú rugó húzná a középpont felé. Ennek hatására olyan harmonikus rezgőmozgást végez a lövedék az alagútban, amelynek periódusideje
\(\displaystyle T_0= \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma M}}=\sqrt{\frac{3\pi}{\gamma \varrho}}\approx 5600~{\rm s}=1{,}55~\text{óra}. \)
A lövedék azonban a teljes periódusidőnek csak egy részét tölti az alagútban. Ha az időt a kisbolygó középpontján való áthaladástól mérjük, a lövedék elmozdulását és sebességét az
\(\displaystyle x(t)=A\sin\omega t,\qquad v(t)=A\omega\cos\omega t \)
összefüggésekkel adhatjuk meg. Tudjuk, hogy az alagút elhagyásának \(\displaystyle t_1=T_1/2\) pillanatában
\(\displaystyle x(t_1)=A\sin(\omega t_1)=R,\)
valamint
\(\displaystyle v(t_1)=A\omega\cos(\omega t_1)=v_1 .\)
A \(\displaystyle v_1\) sebesség nagyságát onnan tudjuk, hogy ismerjük a lövedék emelkedési magasságát. Az energiamegmaradás tételét alkalmazva ugyanis felírhatjuk:
\(\displaystyle -\gamma\frac{mM}{R}+\frac{1}{2}mv_1^2= -\gamma\frac{mM}{2R},\)
ahonnan
\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{R}},\)
ami \(\displaystyle \omega=\sqrt{\gamma M/R^3}\) segítségével \(\displaystyle v_1=R\omega\) alakban is felírható. Eszerint
\(\displaystyle \frac{x(t_1)}{v(t_1)}= \frac{A\sin(\omega t_1)}{A\omega\cos(\omega t_1)}=\frac{1}{\omega}\tg(\omega t_1)= \frac{R}{R\omega}, \)
vagyis \(\displaystyle \tg(\omega t_1)=1,\) azaz \(\displaystyle t_1=\pi/(4\omega).\) A lövedék tehát
\(\displaystyle T_1=2t_1= \frac{\pi}{2\omega}=\frac{T_0}{4}=1400~{\rm s}=0{,}39~\text{óra} \)
idő alatt repül keresztül a titán kisbolygón.
A mozgás második szakaszának pályája egy olyan elfajult ellipszis negyedrészének tekinthető, amelynek nagytengelye \(\displaystyle 2R\), a kistengelye pedig \(\displaystyle b\approx 0\). Ezen ellipszisen – Kepler III. törvénye szerint – a teljes keringési idő
\(\displaystyle T_0= 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{\gamma M}}=1{,}55~\text{óra}\)
lenne, éppen annyi, mint az alagút belsejében a harmonikus rezgőmozgás teljes periódusideje. Mivel azonban a lövedék az ellipszis kerületének csak negyedét teszi meg, az ehhez szükséges idő (Kepler II. törvényét felhasználva):
\(\displaystyle T_2=T_0\frac{\tfrac14ab\pi+\tfrac12ab }{ ab\pi }=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2\pi}\right)T_0=0{,}63~\text{óra}.\)
A lövedék mozgásának teljes ideje
\(\displaystyle T=T_1+T_2= \frac{1+\pi}{2\pi}\sqrt{\frac{3\pi}{\gamma\varrho}}\approx 1{,}0~\text{óra}. \)
Statisztika:
27 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Di Giovanni András, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Kürti Zoltán, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Osváth Botond, Pszota Máté, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter. 5 pontot kapott: Fajszi Bulcsú. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. februári fizika feladatai